MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem2 14881
Description: Lemma for ruc 14892. Ordering property for the input to 𝐷. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruclem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem1.7 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem2.8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ruclem2 (𝜑 → (𝐴𝑋𝑋 < 𝑌𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem2
StepHypRef Expression
1 ruclem1.3 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21leidd 10539 . . . 4 (𝜑𝐴𝐴)
3 ruclem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
41, 3readdcld 10014 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54rehalfcld 11224 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
65, 3readdcld 10014 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
76rehalfcld 11224 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
8 ruclem2.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
9 avglt1 11215 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
101, 3, 9syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
118, 10mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2))
12 avglt2 11216 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
131, 3, 12syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
148, 13mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
15 avglt1 11215 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
165, 3, 15syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1714, 16mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
181, 5, 7, 11, 17lttrd 10143 . . . . 5 (𝜑𝐴 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
191, 7, 18ltled 10130 . . . 4 (𝜑𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
20 breq2 4622 . . . . 5 (𝐴 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴𝐴𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
21 breq2 4622 . . . . 5 (((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → (𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ↔ 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))))
2220, 21ifboth 4101 . . . 4 ((𝐴𝐴𝐴 ≤ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
232, 19, 22syl2anc 692 . . 3 (𝜑𝐴 ≤ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
24 ruc.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
25 ruc.2 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
26 ruclem1.5 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
27 ruclem1.6 . . . . 5 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
28 ruclem1.7 . . . . 5 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
2924, 25, 1, 3, 26, 27, 28ruclem1 14880 . . . 4 (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
3029simp2d 1072 . . 3 (𝜑𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
3123, 30breqtrrd 4646 . 2 (𝜑𝐴𝑋)
32 iftrue 4069 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = 𝐴)
33 iftrue 4069 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3432, 33breq12d 4631 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + 𝐵) / 2)))
3511, 34syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
36 avglt2 11216 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
375, 3, 36syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
3814, 37mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵)
39 iffalse 4072 . . . . . 6 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
40 iffalse 4072 . . . . . 6 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = 𝐵)
4139, 40breq12d 4631 . . . . 5 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → (if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ↔ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) < 𝐵))
4238, 41syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
4335, 42pm2.61d 170 . . 3 (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) < if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
4429simp3d 1073 . . 3 (𝜑𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
4543, 30, 443brtr4d 4650 . 2 (𝜑𝑋 < 𝑌)
465, 3, 14ltled 10130 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵)
473leidd 10539 . . . 4 (𝜑𝐵𝐵)
48 breq1 4621 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) / 2) = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
49 breq1 4621 . . . . 5 (𝐵 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) → (𝐵𝐵 ↔ if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵))
5048, 49ifboth 4101 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ≤ 𝐵𝐵𝐵) → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
5146, 47, 50syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) ≤ 𝐵)
5244, 51eqbrtrd 4640 . 2 (𝜑𝑌𝐵)
5331, 45, 523jca 1240 1 (𝜑 → (𝐴𝑋𝑋 < 𝑌𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  csb 3519  ifcif 4063  cop 4159   class class class wbr 4618   × cxp 5077  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  1st c1st 7114  2nd c2nd 7115  cr 9880   + caddc 9884   < clt 10019  cle 10020   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-2 11024
This theorem is referenced by:  ruclem8  14886  ruclem9  14887
  Copyright terms: Public domain W3C validator