Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0revalmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0revalmpt 39932
Description: Value of the sum of nonnegative extended reals, when all terms in the sum are reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0revalmpt.1 𝑥𝜑
sge0revalmpt.2 (𝜑𝐴𝑉)
sge0revalmpt.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
sge0revalmpt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0revalmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0revalmpt.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0revalmpt.1 . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0revalmpt.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
4 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6353 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,)+∞))
61, 5sge0reval 39926 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ))
7 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
8 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
9 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑧𝑦
10 nfmpt1 4717 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
11 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝑧
1210, 11nffv 6165 . . . . . . . 8 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
13 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑧((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
147, 8, 9, 12, 13cbvsum 14375 . . . . . . 7 Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
16 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
172, 16nfan 1825 . . . . . . . 8 𝑥(𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
18 elpwinss 38738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
2119, 20sseldd 3589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
2221adantll 749 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
23 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝜑)
2423, 22, 3syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
254fvmpt2 6258 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2622, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ 𝑥𝑦) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
2726ex 450 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵))
2817, 27ralrimi 2953 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
29 sumeq2 14374 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵 → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3028, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑥𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3115, 30eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) = Σ𝑥𝑦 𝐵)
3231mpteq2dva 4714 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3332rneqd 5323 . . 3 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵))
3433supeq1d 8312 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧𝑦 ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
356, 34eqtrd 2655 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ Σ𝑥𝑦 𝐵), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wral 2908  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4136  cmpt 4683  ran crn 5085  cfv 5857  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  supcsup 8306  0cc0 9896  +∞cpnf 10031  *cxr 10033   < clt 10034  [,)cico 12135  Σcsu 14366  Σ^csumge0 39916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-seq 12758  df-sum 14367  df-sumge0 39917
This theorem is referenced by:  sge0f1o  39936  sge0xaddlem1  39987  sge0xaddlem2  39988  sge0reuz  40001
  Copyright terms: Public domain W3C validator