Theorem fsumlesge0 42679

Description: Every finite subsum of nonnegative reals is less than or equal to the extended sum over the whole (possibly infinite) domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlesge0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
fsumlesge0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
fsumlesge0.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
fsumlesge0.fi	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumlesge0	⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem fsumlesge0

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumlesge0.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
2	1	sge0rnre 42666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ)
3		ressxr 10685	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
5	2, 4	sstrd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ*)
6		fsumlesge0.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑋)
7		fsumlesge0.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7, 6	ssexd 5228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
9		elpwg 4542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑌 ⊆ 𝑋))
11	6, 10	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 𝑋)
12		fsumlesge0.fi	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Fin)
13	11, 12	elind 4171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin))
14		fveq2 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
15	14	cbvsumv 15053	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
17		sumeq1 15045	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧))
18	17	rspceeqv 3638	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
19	13, 16, 18	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
20		sumex 15044	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V)
22		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))
23	22	elrnmpt 5828	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ V → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) = Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
25	19, 24	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)))
26		supxrub 12718	. . 3 ⊢ ((ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)) ⊆ ℝ* ∧ Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ∈ ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧))) → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
27	5, 25, 26	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
28	7, 1	sge0reval 42674	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ))
29	28	eqcomd 2827	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑧 ∈ 𝑦 (𝐹‘𝑧)), ℝ*, < ) = (Σ^‘𝐹))
30	27, 29	breqtrd 5092	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑥 ∈ 𝑌 (𝐹‘𝑥) ≤ (Σ^‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  Vcvv 3494   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  supcsup 8904  ℝcr 10536  0cc0 10537  +∞cpnf 10672  ℝ^*cxr 10674   < clt 10675   ≤ cle 10676  [,)cico 12741  Σcsu 15042  Σ^{^}csumge0 42664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043  df-sumge0 42665

This theorem is referenced by:  sge0fsum  42689  sge0rnbnd  42695  sge0split  42711