Theorem smfdmss 43030

Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfdmss.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smfdmss	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfdmss.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smfdmss.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smfdmss.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 43025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp1d 1138	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  {crab 3142   ⊆ wss 3936  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5066  dom cdm 5555  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536   < clt 10675   ↾_t crest 16694  SAlgcsalg 42613  SMblFncsmblfn 42997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-er 8289  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-ioo 12743  df-ico 12745  df-smblfn 42998

This theorem is referenced by:  sssmf  43035  smfsssmf  43040  issmfle  43042  issmfgt  43053  smfadd  43061  issmfge  43066  smflim  43073  smfpimgtxr  43076  smfpimioo  43082  smfresal  43083  smfrec  43084  smfres  43085  smfmul  43090  smfmulc1  43091  smfco  43097  smfsuplem3  43107