Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdmss 40236
Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdmss.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smfdmss (𝜑𝐷 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfdmss.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2 smfdmss.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfdmss.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 40231 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
51, 4mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
65simp1d 1071 1 (𝜑𝐷 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  wss 3560   cuni 4407   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cr 9880   < clt 10019  t crest 15997  SAlgcsalg 39822  SMblFncsmblfn 40203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-er 7688  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-smblfn 40204
This theorem is referenced by:  sssmf  40241  smfsssmf  40246  issmfle  40248  issmfgt  40259  smfadd  40267  issmfge  40272  smflim  40279  smfpimgtxr  40282  smfpimioo  40288  smfresal  40289  smfrec  40290  smfres  40291  smfmul  40296  smfmulc1  40297  smfco  40303  smfsuplem3  40313
  Copyright terms: Public domain W3C validator