Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmul 39474
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmul.x 𝑥𝜑
smfmul.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmul.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmul.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmul.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmul.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmul.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfmul (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmul
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmul.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1830 . 2 𝑎𝜑
3 smfmul.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 elinel1 3761 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
54adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
61, 5ssdf 38067 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfmul.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 38206 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2616 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfmul.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2610 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 39413 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3602 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrd 3578 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝑆)
165, 8syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 elinel2 3762 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
19 smfmul.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2116, 20remulcld 9927 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22 nfv 1830 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
231, 22nfan 1816 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
243adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
25 smfmul.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2625adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
278adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2819adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2911adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
30 smfmul.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3130adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
32 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
33 fveq1 6087 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘2) = (𝑞‘2))
34 fveq1 6087 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘3) = (𝑞‘3))
3533, 34oveq12d 6545 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3)) = ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
3635raleqdv 3121 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
3736ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
38 fveq1 6087 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘0) = (𝑞‘0))
39 fveq1 6087 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘1) = (𝑞‘1))
4038, 39oveq12d 6545 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1)) = ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
4140raleqdv 3121 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
4237, 41bitrd 267 . . . 4 (𝑝 = 𝑞 → (∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎 ↔ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎))
4342cbvrabv 3172 . . 3 {𝑝 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎}
44 eqid 2610 . . 3 (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}) = (𝑞 ∈ {𝑝 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑝‘0)(,)(𝑝‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑝‘2)(,)(𝑝‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑎} ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
4523, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 43, 44smfmullem4 39473 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
461, 2, 3, 15, 21, 45issmfdmpt 39429 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 · 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wnf 1699  wcel 1977  wral 2896  {crab 2900  cin 3539   cuni 4367   class class class wbr 4578  cmpt 4638  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  cr 9792  0cc0 9793  1c1 9794   · cmul 9798   < clt 9931  2c2 10920  3c3 10921  cq 11623  (,)cioo 12005  ...cfz 12155  SAlgcsalg 38998  SMblFncsmblfn 39380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-ac2 9146  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-ac 8800  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-word 13103  df-concat 13105  df-s1 13106  df-s2 13393  df-s3 13394  df-s4 13395  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-rest 15855  df-salg 38999  df-smblfn 39381
This theorem is referenced by:  smfmulc1  39475  smfdiv  39476
  Copyright terms: Public domain W3C validator