Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfrec 40303
Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfrec.x 𝑥𝜑
smfrec.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a (𝜑𝐴𝑉)
smfrec.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
Assertion
Ref Expression
smfrec (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfrec.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1840 . 2 𝑎𝜑
3 smfrec.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfrec.e . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
5 ssrab2 3666 . . . 4 {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3614 . . 3 𝐶𝐴
7 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfrec.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 38891 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2627 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfrec.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2621 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 40249 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3618 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14syl5ss 3594 . 2 (𝜑𝐶 𝑆)
16 1red 9999 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 1 ∈ ℝ)
176sseli 3579 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝐴)
1817adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
1918, 8syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
204eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
2120biimpi 206 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
22 rabidim2 38769 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑥𝐶𝐵 ≠ 0)
2423adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
2516, 19, 24redivcld 10797 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
271, 26nfan 1825 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
28 nfv 1840 . . . . . 6 𝑥0 < 𝑎
2927, 28nfan 1825 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
3019ad4ant14 1290 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3123adantl 482 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
3432, 33elrpd 11813 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3534adantll 749 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3629, 30, 31, 35pimrecltpos 40226 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}))
37 smfrec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
384, 37rabexd 4774 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
39 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐶) = (𝑆t 𝐶)
403, 38, 39subsalsal 39884 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
4140ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4342adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
446a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
453, 11, 44sssmfmpt 40266 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4746adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4834rprecred 11827 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
4948adantll 749 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
5029, 43, 30, 47, 49smfpimgtmpt 40296 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐶))
51 0red 9985 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
521, 3, 19, 45, 51smfpimltmpt 40262 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5352ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5441, 50, 53saluncld 39873 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}) ∈ (𝑆t 𝐶))
5536, 54eqeltrd 2698 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
56 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 = 0
571, 56nfan 1825 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 = 0)
58 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
5958ad2antlr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6019, 24reclt0 39078 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6160bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6261adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6359, 62bitrd 268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎𝐵 < 0))
6457, 63rabbida 38759 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 < 0})
6552adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
6664, 65eqeltrd 2698 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
6766ad4ant14 1290 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
68 simpll 789 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
69 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70 0red 9985 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71 neqne 2798 . . . . . . . 8 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
7271adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
7469, 70, 72, 73lttri5d 38977 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
7574adantlll 753 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 < 0
7727, 76nfan 1825 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
788adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7917, 78sylan2 491 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079adantlr 750 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8123adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
8577, 80, 81, 83, 84pimrecltneg 40240 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
8642adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
8738ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
8846adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 1red 9999 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90 simpl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91 lt0ne0 10438 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
9289, 90, 91redivcld 10797 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9392adantll 749 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9493rexrd 10033 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
9551ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
9695rexrd 10033 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
9777, 86, 87, 80, 88, 94, 96smfpimioompt 40300 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆t 𝐶))
9885, 97eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
9968, 75, 98syl2anc 692 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10067, 99pm2.61dan 831 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10155, 100pm2.61dan 831 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
1021, 2, 3, 15, 25, 101issmfdmpt 40264 1 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cun 3553  wss 3555   cuni 4402   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  t crest 16002  SAlgcsalg 39835  SMblFncsmblfn 40216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-ac2 9229  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-acn 8712  df-ac 8883  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fl 12533  df-rest 16004  df-salg 39836  df-smblfn 40217
This theorem is referenced by:  smfdiv  40311
  Copyright terms: Public domain W3C validator