Theorem smndex1igid 18064

Description: The composition of the modulo function 𝐼 and a constant function (𝐺‘𝐾) results in (𝐺‘𝐾) itself. (Contributed by AV, 14-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smndex1ibas.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘ℕ0)
smndex1ibas.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
smndex1ibas.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
smndex1ibas.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))

Assertion

Ref	Expression
smndex1igid	⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑛,𝐾,𝑥   𝑛,𝑁   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem smndex1igid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5607	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 × {𝐾}) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)
2	1	eqcomi 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾})
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
4	3	coeq2d 5726	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
5		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝐾 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑛 = 𝐾)
6	5	mpteq2dva 5154	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
7		smndex1ibas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ (0..^𝑁) ↦ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝑛))
8		nn0ex 11897	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
9	8	mptex 6979	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾) ∈ V
10	6, 7, 9	fvmpt 6761	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾))
11	10	coeq2d 5726	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐼 ∘ (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ 𝐾)))
12		smndex1ibas.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 mod 𝑁))
13		oveq1 7156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 mod 𝑁) = (𝐾 mod 𝑁))
14		zmodidfzoimp 13266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐾 mod 𝑁) = 𝐾)
15	13, 14	sylan9eqr 2877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 = 𝐾) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝐾)
16		elfzonn0 13079	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
17	12, 15, 16, 16	fvmptd2 6769	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼‘𝐾) = 𝐾)
18	17	eqcomd 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → 𝐾 = (𝐼‘𝐾))
19	18	sneqd 4572	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → {𝐾} = {(𝐼‘𝐾)})
20	19	xpeq2d 5578	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (ℕ0 × {𝐾}) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
21	10, 2	syl6eq 2871	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (ℕ0 × {𝐾}))
22		ovex 7182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 mod 𝑁) ∈ V
23	22, 12	fnmpti 6484	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn ℕ0
24		fcoconst 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
25	23, 16, 24	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})) = (ℕ0 × {(𝐼‘𝐾)}))
26	20, 21, 25	3eqtr4d 2865	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐺‘𝐾) = (𝐼 ∘ (ℕ0 × {𝐾})))
27	4, 11, 26	3eqtr4d 2865	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → (𝐼 ∘ (𝐺‘𝐾)) = (𝐺‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4560   ↦ cmpt 5139   × cxp 5546   ∘ ccom 5552   Fn wfn 6343  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  0cc0 10530  ℕcn 11631  ℕ₀cn0 11891  ..^cfzo 13030   mod cmo 13234  EndoFMndcefmnd 18028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-sup 8899  df-inf 8900  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-mod 13235

This theorem is referenced by:  smndex1mgm  18067  smndex1mndlem  18069