Theorem srgbinomlem1 19290

Description: Lemma 1 for srgbinomlem 19294. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
srgbinomlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
srgbinomlem.c	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
srgbinomlem1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srgbinomlem.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
2	1	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ SRing)
3		srgbinom.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
4	3	srgmgp 19260	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
7		simprl 769	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8		srgbinomlem.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
10		srgbinom.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
11	3, 10	mgpbas 19245	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
12		srgbinom.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
13	11, 12	mulgnn0cl 18244	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
14	6, 7, 9, 13	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆)
15		simprr 771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16		srgbinomlem.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
17	16	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
18	11, 12	mulgnn0cl 18244	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
19	6, 15, 17, 18	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆)
20		srgbinom.m	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑅)
21	10, 20	srgcl 19262	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐷 ↑ 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐸 ↑ 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)
22	2, 14, 19, 21	syl3anc 1367	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0 ∧ 𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 ↑ 𝐴) × (𝐸 ↑ 𝐵)) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  ._rcmulr 16566  Mndcmnd 17911  ._gcmg 18224  mulGrpcmgp 19239  SRingcsrg 19255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225  df-mgp 19240  df-srg 19256

This theorem is referenced by:  srgbinomlem2  19291  srgbinomlem3  19292