Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem1 18480
 Description: Lemma 1 for srgbinomlem 18484. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem1 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem1
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
21adantr 481 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ SRing)
3 srgbinom.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
43srgmgp 18450 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
65adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
7 simprl 793 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8 srgbinomlem.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐴𝑆)
10 srgbinom.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝑅)
113, 10mgpbas 18435 . . . 4 𝑆 = (Base‘𝐺)
12 srgbinom.e . . . 4 = (.g𝐺)
1311, 12mulgnn0cl 17498 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝐷 𝐴) ∈ 𝑆)
146, 7, 9, 13syl3anc 1323 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐷 𝐴) ∈ 𝑆)
15 simprr 795 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16 srgbinomlem.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
1716adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐵𝑆)
1811, 12mulgnn0cl 17498 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐸 𝐵) ∈ 𝑆)
196, 15, 17, 18syl3anc 1323 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐸 𝐵) ∈ 𝑆)
20 srgbinom.m . . 3 × = (.r𝑅)
2110, 20srgcl 18452 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐷 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐸 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)
222, 14, 19, 21syl3anc 1323 1 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℕ0cn0 11252  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  Mndcmnd 17234  .gcmg 17480  mulGrpcmgp 18429  SRingcsrg 18445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-seq 12758  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mulg 17481  df-mgp 18430  df-srg 18446 This theorem is referenced by:  srgbinomlem2  18481  srgbinomlem3  18482
 Copyright terms: Public domain W3C validator