MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem1 18291
Description: Lemma 1 for srgbinomlem 18295. (Contributed by AV, 23-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem1 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem srgbinomlem1
StepHypRef Expression
1 srgbinomlem.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
21adantr 479 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ SRing)
3 srgbinom.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
43srgmgp 18261 . . . . 5 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
65adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
7 simprl 789 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
8 srgbinomlem.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
98adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐴𝑆)
10 srgbinom.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝑅)
113, 10mgpbas 18246 . . . 4 𝑆 = (Base‘𝐺)
12 srgbinom.e . . . 4 = (.g𝐺)
1311, 12mulgnn0cl 17294 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐷 ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (𝐷 𝐴) ∈ 𝑆)
146, 7, 9, 13syl3anc 1317 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐷 𝐴) ∈ 𝑆)
15 simprr 791 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐸 ∈ ℕ0)
16 srgbinomlem.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
1716adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → 𝐵𝑆)
1811, 12mulgnn0cl 17294 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐸 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝐸 𝐵) ∈ 𝑆)
196, 15, 17, 18syl3anc 1317 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → (𝐸 𝐵) ∈ 𝑆)
20 srgbinom.m . . 3 × = (.r𝑅)
2110, 20srgcl 18263 . 2 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (𝐷 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝐸 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)
222, 14, 19, 21syl3anc 1317 1 ((𝜑 ∧ (𝐷 ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0)) → ((𝐷 𝐴) × (𝐸 𝐵)) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5689  (class class class)co 6425  0cn0 11045  Basecbs 15600  +gcplusg 15673  .rcmulr 15674  Mndcmnd 17030  .gcmg 17276  mulGrpcmgp 18240  SRingcsrg 18256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-2 10832  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-fz 12063  df-seq 12529  df-ndx 15603  df-slot 15604  df-base 15605  df-sets 15606  df-plusg 15686  df-0g 15830  df-mgm 16978  df-sgrp 17020  df-mnd 17031  df-mulg 17277  df-mgp 18241  df-srg 18257
This theorem is referenced by:  srgbinomlem2  18292  srgbinomlem3  18293
  Copyright terms: Public domain W3C validator