MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srgbinomlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srgbinomlem 18465
Description: Lemma for srgbinom 18466. Inductive step, analogous to binomlem 14486. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m × = (.r𝑅)
srgbinom.t · = (.g𝑅)
srgbinom.a + = (+g𝑅)
srgbinom.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e = (.g𝐺)
srgbinomlem.r (𝜑𝑅 ∈ SRing)
srgbinomlem.a (𝜑𝐴𝑆)
srgbinomlem.b (𝜑𝐵𝑆)
srgbinomlem.c (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
srgbinomlem.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
srgbinomlem.i (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Assertion
Ref Expression
srgbinomlem ((𝜑𝜓) → ((𝑁 + 1) (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   × ,𝑘   ,𝑘   𝜑,𝑘   + ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑘)   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem srgbinomlem
StepHypRef Expression
1 srgbinom.s . . . 4 𝑆 = (Base‘𝑅)
2 srgbinom.m . . . 4 × = (.r𝑅)
3 srgbinom.t . . . 4 · = (.g𝑅)
4 srgbinom.a . . . 4 + = (+g𝑅)
5 srgbinom.g . . . 4 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
6 srgbinom.e . . . 4 = (.g𝐺)
7 srgbinomlem.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ SRing)
8 srgbinomlem.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑆)
9 srgbinomlem.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑆)
10 srgbinomlem.c . . . 4 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
11 srgbinomlem.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
12 srgbinomlem.i . . . 4 (𝜓 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12srgbinomlem3 18463 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12srgbinomlem4 18464 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
1513, 14oveq12d 6622 . 2 ((𝜑𝜓) → (((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
165srgmgp 18431 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing → 𝐺 ∈ Mnd)
177, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
18 srgmnd 18430 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd)
197, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
201, 4mndcl 17222 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
2119, 8, 9, 20syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆)
2217, 11, 213jca 1240 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆))
245, 1mgpbas 18416 . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐺)
255, 2mgpplusg 18414 . . . . 5 × = (+g𝐺)
2624, 6, 25mulgnn0p1 17473 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆) → ((𝑁 + 1) (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
2723, 26syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 + 1) (𝐴 + 𝐵)) = ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)))
2824, 6mulgnn0cl 17479 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆)
2917, 11, 21, 28syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆)
3029, 8, 93jca 1240 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆))
317, 30jca 554 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆)))
3231adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆)))
331, 4, 2srgdi 18437 . . . 4 ((𝑅 ∈ SRing ∧ ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) ∈ 𝑆𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
3432, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
3527, 34eqtrd 2655 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 + 1) (𝐴 + 𝐵)) = (((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐴) + ((𝑁 (𝐴 + 𝐵)) × 𝐵)))
36 elfzelz 12284 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
37 bcpasc 13048 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
3811, 36, 37syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
3938oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
4019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ Mnd)
41 bccl 13049 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
4211, 36, 41syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
4311adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4436adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
45 peano2zm 11364 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
47 bccl 13049 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
4843, 46, 47syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
497adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑅 ∈ SRing)
5017adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐺 ∈ Mnd)
51 fznn0sub 12315 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
5251adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
538adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐴𝑆)
5424, 6mulgnn0cl 17479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0𝐴𝑆) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆)
5550, 52, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆)
56 elfznn0 12374 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5756adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
589adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → 𝐵𝑆)
5924, 6mulgnn0cl 17479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝐵𝑆) → (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)
6050, 57, 58, 59syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆)
611, 2srgcl 18433 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ SRing ∧ (((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑘 𝐵) ∈ 𝑆) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) ∈ 𝑆)
6249, 55, 60, 61syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) ∈ 𝑆)
631, 3, 4mulgnn0dir 17492 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ ((𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) ∈ 𝑆)) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
6440, 42, 48, 62, 63syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
6539, 64eqtr3d 2657 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) = (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))
6665mpteq2dva 4704 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
6766oveq2d 6620 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
68 srgcmn 18429 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ CMnd)
697, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
70 fzfid 12712 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
711, 3mulgnn0cl 17479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) ∈ 𝑆) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7240, 42, 62, 71syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7336, 45syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
7411, 73, 47syl2an 494 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
751, 3mulgnn0cl 17479 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0 ∧ ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)) ∈ 𝑆) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
7640, 74, 62, 75syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) ∈ 𝑆)
77 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
78 eqid 2621 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))) = (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))
791, 4, 69, 70, 72, 76, 77, 78gsummptfidmadd 18246 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
8067, 79eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
8180adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) = ((𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))) + (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵)))))))
8215, 35, 813eqtr4d 2665 1 ((𝜑𝜓) → ((𝑁 + 1) (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↦ (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((((𝑁 + 1) − 𝑘) 𝐴) × (𝑘 𝐵))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  0cn0 11236  cz 11321  ...cfz 12268  Ccbc 13029  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863   Σg cgsu 16022  Mndcmnd 17215  .gcmg 17461  CMndccmn 18114  mulGrpcmgp 18410  SRingcsrg 18426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427
This theorem is referenced by:  srgbinom  18466
  Copyright terms: Public domain W3C validator