Theorem mulgnn0cl 18244

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssidd 3990	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3	mndcl 17919	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7		eqid 2821	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
8	1, 7	mndidcl 17926	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 18241	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911  ._gcmg 18224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18257  mulgnn0ass  18263  mhmmulg  18268  pwsmulg  18272  cycsubm  18345  odmodnn0  18668  mulgmhm  18948  srgmulgass  19281  srgpcomp  19282  srgpcompp  19283  srgpcomppsc  19284  srgbinomlem1  19290  srgbinomlem2  19291  srgbinomlem4  19293  srgbinomlem  19294  lmodvsmmulgdi  19669  assamulgscmlem2  20129  mplcoe5lem  20248  mplcoe5  20249  psrbagev1  20290  evlslem3  20293  ply1moncl  20439  coe1pwmul  20447  ply1coefsupp  20463  ply1coe  20464  gsummoncoe1  20472  lply1binomsc  20475  evl1expd  20508  evl1scvarpw  20526  evl1scvarpwval  20527  evl1gsummon  20528  pmatcollpwscmatlem1  21397  mply1topmatcllem  21411  mply1topmatcl  21413  pm2mpghm  21424  monmat2matmon  21432  pm2mp  21433  chpscmatgsumbin  21452  chpscmatgsummon  21453  chfacfscmulcl  21465  chfacfscmul0  21466  chfacfpmmulcl  21469  chfacfpmmul0  21470  cpmadugsumlemB  21482  cpmadugsumlemC  21483  cpmadugsumlemF  21484  cayhamlem2  21492  cayhamlem4  21496  deg1pw  24714  plypf1  24802  lgsqrlem2  25923  lgsqrlem3  25924  lgsqrlem4  25925  omndmul2  30713  omndmul3  30714  omndmul  30715  isarchi2  30814  freshmansdream  30859  hbtlem4  39746  lmodvsmdi  44450  ply1mulgsumlem4  44463  ply1mulgsum  44464