Theorem mulgnn0cl 17605

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2651	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssid 3657	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
7	1, 3	mndcl 17348	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8		eqid 2651	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	1, 8	mndidcl 17355	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	mulgnn0subcl 17601	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988  0_gc0g 16147  Mndcmnd 17341  ._gcmg 17587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mulg 17588

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17618  mulgnn0ass  17625  mhmmulg  17630  pwsmulg  17634  odmodnn0  18005  mulgmhm  18279  srgmulgass  18577  srgpcomp  18578  srgpcompp  18579  srgpcomppsc  18580  srgbinomlem1  18586  srgbinomlem2  18587  srgbinomlem4  18589  srgbinomlem  18590  lmodvsmmulgdi  18946  assamulgscmlem2  19397  mplcoe5lem  19515  mplcoe5  19516  psrbagev1  19558  evlslem3  19562  ply1moncl  19689  coe1pwmul  19697  ply1coefsupp  19713  ply1coe  19714  gsummoncoe1  19722  lply1binomsc  19725  evl1expd  19757  evl1scvarpw  19775  evl1scvarpwval  19776  evl1gsummon  19777  pmatcollpwscmatlem1  20642  mply1topmatcllem  20656  mply1topmatcl  20658  pm2mpghm  20669  monmat2matmon  20677  pm2mp  20678  chpscmatgsumbin  20697  chpscmatgsummon  20698  chfacfscmulcl  20710  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmulcl  20714  chfacfpmmul0  20715  cpmadugsumlemB  20727  cpmadugsumlemC  20728  cpmadugsumlemF  20729  cayhamlem2  20737  cayhamlem4  20741  deg1pw  23925  plypf1  24013  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem3  25118  lgsqrlem4  25119  omndmul2  29840  omndmul3  29841  omndmul  29842  isarchi2  29867  hbtlem4  38013  lmodvsmdi  42488  ply1mulgsumlem4  42502  ply1mulgsum  42503