Theorem mulgnn0cl 17330

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0cl	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnncl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnncl.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		eqid 2609	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		id 22	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5		ssid 3586	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵 ⊆ 𝐵)
7	1, 3	mndcl 17073	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
8		eqid 2609	. 2 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
9	1, 8	mndidcl 17080	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	mulgnn0subcl 17326	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ⊆ wss 3539  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  ℕ₀cn0 11142  Basecbs 15644  +_gcplusg 15717  0_gc0g 15872  Mndcmnd 17066  ._gcmg 17312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-seq 12622  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-mulg 17313

This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  17343  mulgnn0ass  17350  mhmmulg  17355  pwsmulg  17359  odmodnn0  17731  mulgmhm  18005  srgmulgass  18303  srgpcomp  18304  srgpcompp  18305  srgpcomppsc  18306  srgbinomlem1  18312  srgbinomlem2  18313  srgbinomlem4  18315  srgbinomlem  18316  lmodvsmmulgdi  18670  assamulgscmlem2  19119  mplcoe5lem  19237  mplcoe5  19238  psrbagev1  19280  evlslem3  19284  ply1moncl  19411  coe1pwmul  19419  ply1coefsupp  19435  ply1coe  19436  gsummoncoe1  19444  lply1binomsc  19447  evl1expd  19479  evl1scvarpw  19497  evl1scvarpwval  19498  evl1gsummon  19499  pmatcollpwscmatlem1  20361  mply1topmatcllem  20375  mply1topmatcl  20377  pm2mpghm  20388  monmat2matmon  20396  pm2mp  20397  chpscmatgsumbin  20416  chpscmatgsummon  20417  chfacfscmulcl  20429  chfacfscmul0  20430  chfacfpmmulcl  20433  chfacfpmmul0  20434  cpmadugsumlemB  20446  cpmadugsumlemC  20447  cpmadugsumlemF  20448  cayhamlem2  20456  cayhamlem4  20460  deg1pw  23629  plypf1  23717  lgsqrlem2  24817  lgsqrlem3  24818  lgsqrlem4  24819  omndmul2  28877  omndmul3  28878  omndmul  28879  isarchi2  28904  hbtlem4  36539  lmodvsmdi  41979  ply1mulgsumlem4  41993  ply1mulgsum  41994