MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgnn0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgnn0cl 18184
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation for a nonnegative multiplier in a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnn0cl ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mulgnn0cl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 mulgnncl.t . 2 · = (.g𝐺)
3 eqid 2821 . 2 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4 id 22 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mnd)
5 ssidd 3989 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐵𝐵)
61, 3mndcl 17909 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
7 eqid 2821 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
81, 7mndidcl 17916 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8mulgnn0subcl 18181 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  (class class class)co 7145  0cn0 11886  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  0gc0g 16703  Mndcmnd 17901  .gcmg 18164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-seq 13360  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-mulg 18165
This theorem is referenced by:  mulgnn0dir  18197  mulgnn0ass  18203  mhmmulg  18208  pwsmulg  18212  cycsubm  18285  odmodnn0  18599  mulgmhm  18879  srgmulgass  19212  srgpcomp  19213  srgpcompp  19214  srgpcomppsc  19215  srgbinomlem1  19221  srgbinomlem2  19222  srgbinomlem4  19224  srgbinomlem  19225  lmodvsmmulgdi  19600  assamulgscmlem2  20059  mplcoe5lem  20178  mplcoe5  20179  psrbagev1  20220  evlslem3  20223  ply1moncl  20369  coe1pwmul  20377  ply1coefsupp  20393  ply1coe  20394  gsummoncoe1  20402  lply1binomsc  20405  evl1expd  20438  evl1scvarpw  20456  evl1scvarpwval  20457  evl1gsummon  20458  pmatcollpwscmatlem1  21327  mply1topmatcllem  21341  mply1topmatcl  21343  pm2mpghm  21354  monmat2matmon  21362  pm2mp  21363  chpscmatgsumbin  21382  chpscmatgsummon  21383  chfacfscmulcl  21395  chfacfscmul0  21396  chfacfpmmulcl  21399  chfacfpmmul0  21400  cpmadugsumlemB  21412  cpmadugsumlemC  21413  cpmadugsumlemF  21414  cayhamlem2  21422  cayhamlem4  21426  deg1pw  24643  plypf1  24731  lgsqrlem2  25851  lgsqrlem3  25852  lgsqrlem4  25853  omndmul2  30641  omndmul3  30642  omndmul  30643  isarchi2  30742  freshmansdream  30787  hbtlem4  39606  lmodvsmdi  44328  ply1mulgsumlem4  44341  ply1mulgsum  44342
  Copyright terms: Public domain W3C validator