Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfacp1lem2a 31288
Description: Lemma for subfacp1 31294. Properties of a bijection on 𝐾 augmented with the two-element flip to get a bijection on 𝐾 ∪ {1, 𝑀}. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
subfac.n 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
subfacp1lem.a 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
subfacp1lem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
subfacp1lem1.m (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
subfacp1lem1.x 𝑀 ∈ V
subfacp1lem1.k 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
subfacp1lem2.5 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
subfacp1lem2.6 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝑁,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛   𝑓,𝐾,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝑀,𝑥,𝑦   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑓)   𝑆(𝑓)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑛)   𝑀(𝑛)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐾1-1-onto𝐾)
2 1z 11445 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6 𝑀 ∈ V
4 f1oprswap 6218 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ V) → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
52, 3, 4mp2an 708 . . . . 5 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀})
7 derang.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (#‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑥1-1-onto𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}))
8 subfac.n . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐷‘(1...𝑛)))
9 subfacp1lem.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑁 + 1))(𝑓𝑦) ≠ 𝑦)}
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (2...(𝑁 + 1)))
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6 𝐾 = ((2...(𝑁 + 1)) ∖ {𝑀})
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 31287 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) ∧ (#‘𝐾) = (𝑁 − 1)))
1413simp1d 1093 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)
15 f1oun 6194 . . . 4 (((𝐺:𝐾1-1-onto𝐾 ∧ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}:{1, 𝑀}–1-1-onto→{1, 𝑀}) ∧ ((𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅ ∧ (𝐾 ∩ {1, 𝑀}) = ∅)) → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 1367 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
1713simp2d 1094 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)))
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7 𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
19 f1oeq1 6165 . . . . . . 7 (𝐹 = (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}))
21 f1oeq2 6166 . . . . . 6 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
2220, 21syl5bbr 274 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀})))
23 f1oeq3 6167 . . . . 5 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2422, 23bitrd 268 . . . 4 ((𝐾 ∪ {1, 𝑀}) = (1...(𝑁 + 1)) → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2517, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}):(𝐾 ∪ {1, 𝑀})–1-1-onto→(𝐾 ∪ {1, 𝑀}) ↔ 𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1))))
2616, 25mpbid 222 . 2 (𝜑𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)))
27 f1ofun 6177 . . . . 5 (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) → Fun 𝐹)
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
29 snsspr1 4377 . . . . . 6 {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
30 ssun2 3810 . . . . . . 7 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ (𝐺 ∪ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩})
3130, 18sseqtr4i 3671 . . . . . 6 {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
3229, 31sstri 3645 . . . . 5 {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹
33 1ex 10073 . . . . . . 7 1 ∈ V
3433snid 4241 . . . . . 6 1 ∈ {1}
353dmsnop 5645 . . . . . 6 dom {⟨1, 𝑀⟩} = {1}
3634, 35eleqtrri 2729 . . . . 5 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}
37 funssfv 6247 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ {⟨1, 𝑀⟩} ⊆ 𝐹 ∧ 1 ∈ dom {⟨1, 𝑀⟩}) → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
3832, 36, 37mp3an23 1456 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
3928, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4033, 3fvsn 6487 . . 3 ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀
4139, 40syl6eq 2701 . 2 (𝜑 → (𝐹‘1) = 𝑀)
42 snsspr2 4378 . . . . . 6 {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ {⟨1, 𝑀⟩, ⟨𝑀, 1⟩}
4342, 31sstri 3645 . . . . 5 {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹
443snid 4241 . . . . . 6 𝑀 ∈ {𝑀}
4533dmsnop 5645 . . . . . 6 dom {⟨𝑀, 1⟩} = {𝑀}
4644, 45eleqtrri 2729 . . . . 5 𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}
47 funssfv 6247 . . . . 5 ((Fun 𝐹 ∧ {⟨𝑀, 1⟩} ⊆ 𝐹𝑀 ∈ dom {⟨𝑀, 1⟩}) → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
4843, 46, 47mp3an23 1456 . . . 4 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
4928, 48syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) = ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀))
503, 33fvsn 6487 . . 3 ({⟨𝑀, 1⟩}‘𝑀) = 1
5149, 50syl6eq 2701 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) = 1)
5226, 41, 513jca 1261 1 (𝜑 → (𝐹:(1...(𝑁 + 1))–1-1-onto→(1...(𝑁 + 1)) ∧ (𝐹‘1) = 𝑀 ∧ (𝐹𝑀) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216  cmpt 4762  dom cdm 5143  Fun wfun 5920  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  31289  subfacp1lem3  31290  subfacp1lem4  31291  subfacp1lem5  31292
  Copyright terms: Public domain W3C validator