Theorem swrdco 14201

Description: Mapping of words commutes with the substring operation. (Contributed by AV, 11-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Proof of Theorem swrdco

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6516	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2	1	3ad2ant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
3		swrdvalfn 14015	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
4	3	3expb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
5	4	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
6		swrdrn 14016	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
7	6	3expb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴)
9		fnco 6467	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ran (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
10	2, 5, 8, 9	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
11		wrdco 14195	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
12	11	3adant2 1127	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵)
13		simp2l 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
14		lenco 14196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
15	14	eqcomd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
16	15	oveq2d 7174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
17	16	eleq2d 2900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
18	17	biimpd 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
19	18	expcom 416	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
20	19	com13 88	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
21	20	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
22	21	3imp21 1110	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
23		swrdvalfn 14015	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) → ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
24	12, 13, 22, 23	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)))
25		3anass 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
26	25	biimpri 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
27	26	3adant3 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))))
28		swrdfv 14012	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑊‘(𝑖 + 𝑀)))
29	28	fveq2d 6676	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
30	27, 29	sylan 582	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
31		wrdfn 13879	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
32	31	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
33		elfzodifsumelfzo 13106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
34	33	3ad2ant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
35	34	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
36		fvco2 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
37	32, 35, 36	syl2an2r 683	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)) = (𝐹‘(𝑊‘(𝑖 + 𝑀))))
38	30, 37	eqtr4d 2861	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
39		fvco2 6760	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) Fn (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
40	5, 39	sylan 582	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (𝐹‘((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖)))
41	14	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
42	41	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))
43	42	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
44	43	eleq2d 2900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
45	44	biimpd 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
46	45	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
47	46	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
48	47	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))))
49	48	3imp21 1110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))))
50	12, 13, 49	3jca 1124	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))))
51		swrdfv 14012	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
52	50, 51	sylan 582	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(𝑖 + 𝑀)))
53	38, 40, 52	3eqtr4d 2868	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → ((𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))‘𝑖) = (((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝑖))
54	10, 24, 53	eqfnfvd 6807	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑊) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938  ⟨cop 4575  ran crn 5558   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  0cc0 10539   + caddc 10542   − cmin 10872  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693  Word cword 13864   substr csubstr 14004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-substr 14005

This theorem is referenced by:  pfxco  14202