Theorem tcphphl 23823

Description: Augmentation of a subcomplex pre-Hilbert space with a norm does not affect whether it is still a pre-Hilbert space (because all the original components are the same). (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tcphval.n	⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tcphphl	⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Proof of Theorem tcphphl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2821	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
2		tcphval.n	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (toℂPreHil‘𝑊)
3		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4	2, 3	tcphbas 23815	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑊) = (Base‘𝐺))
6		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7	2, 6	tchplusg 23816	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺)
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑊) = (+g‘𝐺))
9	8	oveqdr 7177	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
10		eqidd 2821	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊))
11		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12	2, 11	tcphsca 23819	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝐺))
14		eqid 2820	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
15		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
16	2, 15	tcphvsca 23820	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺)
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝐺))
18	17	oveqdr 7177	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐺)𝑦))
19		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	2, 19	tcphip 23821	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺)
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝐺))
22	21	oveqdr 7177	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝐺)𝑦))
23	1, 5, 9, 10, 13, 14, 18, 22	phlpropd 20792	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil))
24	23	mptru 1543	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil ↔ 𝐺 ∈ PreHil)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536  ⊤wtru 1537   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6348  Basecbs 16476  +_gcplusg 16558  Scalarcsca 16561   ·_𝑠 cvsca 16562  ·_𝑖cip 16563  PreHilcphl 20761  toℂPreHilctcph 23764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-sup 8899  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-seq 13367  df-exp 13427  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ds 16580  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-mhm 17949  df-grp 18099  df-ghm 18349  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-phl 20763  df-tng 23187  df-tcph 23766

This theorem is referenced by:  tcphcph  23833