Theorem zlmodzxzldeplem2 44576

Description: Lemma 2 for zlmodzxzldep 44579. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f	⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem2	⊢ 𝐹 finSupp 0

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		zlmodzxzldeplem.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 44575	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6		elmapi 8428	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
7		prfi 8793	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
9		c0ex 10635	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 0 ∈ V)
11	6, 8, 10	fdmfifsupp 8843	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) → 𝐹 finSupp 0)
12	5, 11	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐹 finSupp 0

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  Fincfn 8509   finSupp cfsupp 8833  0cc0 10537  1c1 10538  -cneg 10871  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  6c6 11697  ℤcz 11982  ℤ_ringzring 20617   freeLMod cfrlm 20890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  44579