Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldep 42089
Description: { A , B } is a linearly dependent set within the -module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldep {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Proof of Theorem zlmodzxzldep
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2 zlmodzxzldep.a . . . 4 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3 zlmodzxzldep.b . . . 4 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4 eqid 2609 . . . 4 {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
51, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem1 42085 . . 3 {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
61, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem2 42086 . . . 4 {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0
71, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem3 42087 . . . 4 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)
81, 2, 3, 4zlmodzxzldeplem4 42088 . . . 4 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0
96, 7, 83pm3.2i 1231 . . 3 ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)
10 breq1 4580 . . . . 5 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥 finSupp 0 ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0))
11 oveq1 6534 . . . . . 6 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}))
1211eqeq1d 2611 . . . . 5 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍)))
13 fveq1 6087 . . . . . . 7 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥𝑦) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦))
1413neeq1d 2840 . . . . . 6 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥𝑦) ≠ 0 ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
1514rexbidv 3033 . . . . 5 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
1610, 12, 153anbi123d 1390 . . . 4 (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)))
1716rspcev 3281 . . 3 (({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0))
185, 9, 17mp2an 703 . 2 𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0)
19 ovex 6555 . . . 4 (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
201, 19eqeltri 2683 . . 3 𝑍 ∈ V
21 3z 11243 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
22 6nn 11036 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
2322nnzi 11234 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
241zlmodzxzel 41928 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
2521, 23, 24mp2an 703 . . . . 5 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
262, 25eqeltri 2683 . . . 4 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
27 2z 11242 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
28 4z 11244 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
291zlmodzxzel 41928 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
3027, 28, 29mp2an 703 . . . . 5 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
313, 30eqeltri 2683 . . . 4 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
32 prelpwi 4836 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
3326, 31, 32mp2an 703 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
34 eqid 2609 . . . 4 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
35 eqid 2609 . . . 4 (0g𝑍) = (0g𝑍)
361zlmodzxzlmod 41927 . . . . 5 (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
3736simpri 476 . . . 4 ring = (Scalar‘𝑍)
38 zringbas 19589 . . . 4 ℤ = (Base‘ℤring)
39 zring0 19593 . . . 4 0 = (0g‘ℤring)
4034, 35, 37, 38, 39islindeps 42038 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0)))
4120, 33, 40mp2an 703 . 2 ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥𝑦) ≠ 0))
4218, 41mpbir 219 1 {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  Vcvv 3172  𝒫 cpw 4107  {cpr 4126  cop 4130   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721   finSupp cfsupp 8135  0cc0 9792  1c1 9793  -cneg 10118  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  6c6 10921  cz 11210  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717  0gc0g 15869  LModclmod 18632  ringzring 19583   freeLMod cfrlm 19851   linC clinc 41989   linDepS clindeps 42026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-hash 12935  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-prds 15877  df-pws 15879  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-cnfld 19514  df-zring 19584  df-dsmm 19837  df-frlm 19852  df-linc 41991  df-lininds 42027  df-lindeps 42029
This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  42093
  Copyright terms: Public domain W3C validator