Theorem zlmodzxzldep 44579

Description: { A , B } is a linearly dependent set within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldep	⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Proof of Theorem zlmodzxzldep

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
2		zlmodzxzldep.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
3		zlmodzxzldep.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
5	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem1 44575	. . 3 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})
6	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem2 44576	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0
7	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem3 44577	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)
8	1, 2, 3, 4	zlmodzxzldeplem4 44578	. . . 4 ⊢ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0
9	6, 7, 8	3pm3.2i 1335	. . 3 ⊢ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)
10		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥 finSupp 0 ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0))
11		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}))
12	11	eqeq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍)))
13		fveq1 6669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (𝑥‘𝑦) = ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦))
14	13	neeq1d 3075	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
15	14	rexbidv 3297	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → (∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0 ↔ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0))
16	10, 12, 15	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ (𝑥 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} → ((𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0) ↔ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)))
17	16	rspcev 3623	. . 3 ⊢ (({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵}) ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} finSupp 0 ∧ ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩} ( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ({⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}‘𝑦) ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
18	5, 9, 17	mp2an 690	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)
19		ovex 7189	. . . 4 ⊢ (ℤring freeLMod {0, 1}) ∈ V
20	1, 19	eqeltri 2909	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
21		3z 12016	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		6nn 11727	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
23	22	nnzi 12007	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
24	1	zlmodzxzel 44423	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍))
25	21, 23, 24	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ (Base‘𝑍)
26	2, 25	eqeltri 2909	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ (Base‘𝑍)
27		2z 12015	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
28		4z 12017	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	1	zlmodzxzel 44423	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍))
30	27, 28, 29	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ (Base‘𝑍)
31	3, 30	eqeltri 2909	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)
32		prelpwi 5340	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (Base‘𝑍) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑍)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍))
33	26, 31, 32	mp2an 690	. . 3 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)
34		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
35		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑍) = (0g‘𝑍)
36	1	zlmodzxzlmod 44422	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ LMod ∧ ℤring = (Scalar‘𝑍))
37	36	simpri 488	. . . 4 ⊢ ℤring = (Scalar‘𝑍)
38		zringbas 20623	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
39		zring0 20627	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℤring)
40	34, 35, 37, 38, 39	islindeps 44528	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 (Base‘𝑍)) → ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0)))
41	20, 33, 40	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍 ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ ↑m {𝐴, 𝐵})(𝑥 finSupp 0 ∧ (𝑥( linC ‘𝑍){𝐴, 𝐵}) = (0g‘𝑍) ∧ ∃𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} (𝑥‘𝑦) ≠ 0))
42	18, 41	mpbir 233	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} linDepS 𝑍

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  Vcvv 3494  𝒫 cpw 4539  {cpr 4569  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406   finSupp cfsupp 8833  0cc0 10537  1c1 10538  -cneg 10871  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  6c6 11697  ℤcz 11982  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568  0_gc0g 16713  LModclmod 19634  ℤ_ringzring 20617   freeLMod cfrlm 20890   linC clinc 44479   linDepS clindeps 44516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-hash 13692  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-prds 16721  df-pws 16723  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-dsmm 20876  df-frlm 20891  df-linc 44481  df-lininds 44517  df-lindeps 44519

This theorem is referenced by:  ldepsnlinc  44583