MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsssubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsssubrg 19798
Description: The integers are a subset of any subring of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsssubrg (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑅)

Proof of Theorem zsssubrg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
2 ax-1cn 9991 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
3 cnfldmulg 19772 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
41, 2, 3sylancl 694 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = (𝑥 · 1))
5 zcn 11379 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
76mulid1d 10054 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
84, 7eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) = 𝑥)
9 subrgsubg 18780 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
109adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
11 cnfld1 19765 . . . . . . 7 1 = (1r‘ℂfld)
1211subrg1cl 18782 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑅)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ 𝑅)
14 eqid 2621 . . . . . 6 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1514subgmulgcl 17601 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ 𝑅) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) ∈ 𝑅)
1610, 1, 13, 15syl3anc 1325 . . . 4 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥(.g‘ℂfld)1) ∈ 𝑅)
178, 16eqeltrrd 2701 . . 3 ((𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥𝑅)
1817ex 450 . 2 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑅))
1918ssrdv 3607 1 (𝑅 ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ⊆ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  1c1 9934   · cmul 9938  cz 11374  .gcmg 17534  SubGrpcsubg 17582  SubRingcsubrg 18770  fldccnfld 19740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-fz 12324  df-seq 12797  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-mulg 17535  df-subg 17585  df-cmn 18189  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-cring 18544  df-subrg 18772  df-cnfld 19741
This theorem is referenced by:  qsssubdrg  19799  clmzss  22872  dvply2g  24034
  Copyright terms: Public domain W3C validator