Theorem 0iin 3924

Description: An empty indexed intersection is the universal class. (Contributed by NM, 20-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
0iin	|- |^|_ x e. (/) A = _V

Proof of Theorem 0iin

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iin 3869	. 2 |- |^|_ x e. (/) A = { y | A. x e. (/) y e. A }
2		vex 2729	. . . 4 |- y e. _V
3		ral0 3510	. . . 4 |- A. x e. (/) y e. A
4	2, 3	2th 173	. . 3 |- ( y e. _V <-> A. x e. (/) y e. A )
5	4	abbi2i 2281	. 2 |- _V = { y | A. x e. (/) y e. A }
6	1, 5	eqtr4i 2189	1 |- |^|_ x e. (/) A = _V

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   |^|_ciin 3867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410  df-iin 3869

This theorem is referenced by:  riin0  3937  iin0r  4148