Theorem 0iun 4054

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3530	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 4000	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 678	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3516	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 709	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2231	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   (/)c0 3512   U_ciun 3996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-nul 3513  df-iun 3998

This theorem is referenced by:  iununir  4080  rdg0  6631  iunfidisj  7226  fsum2d  12146  fsumiun  12188  fprod2d  12334  iuncld  15106