Theorem 0iun 4028

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3512	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3974	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 677	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3498	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 708	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2228	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   (/)c0 3494   U_ciun 3970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-nul 3495  df-iun 3972

This theorem is referenced by:  iununir  4054  rdg0  6553  iunfidisj  7145  fsum2d  11998  fsumiun  12040  fprod2d  12186  iuncld  14842