Theorem 0iun 3930

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3432	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3877	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 666	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3418	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 696	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2167	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   (/)c0 3414   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415  df-iun 3875

This theorem is referenced by:  iununir  3956  rdg0  6366  iunfidisj  6923  fsum2d  11398  fsumiun  11440  fprod2d  11586  iuncld  12909