Theorem 0iun 3870

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3380	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3817	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 660	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3367	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 690	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2136	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   (/)c0 3363   U_ciun 3813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-nul 3364  df-iun 3815

This theorem is referenced by:  iununir  3896  rdg0  6284  iunfidisj  6834  fsum2d  11204  fsumiun  11246  iuncld  12284