Theorem 0iun 3834

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3344	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3781	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 643	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3331	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 673	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2110	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1312   e. wcel 1461   E.wrex 2389   (/)c0 3327   U_ciun 3777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-dif 3037  df-nul 3328  df-iun 3779

This theorem is referenced by:  iununir  3860  rdg0  6236  iunfidisj  6784  fsum2d  11090  fsumiun  11132  iuncld  12121