Theorem 0iun 4023

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3509	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3969	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 675	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3495	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 706	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2226	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   (/)c0 3491   U_ciun 3965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-nul 3492  df-iun 3967

This theorem is referenced by:  iununir  4049  rdg0  6533  iunfidisj  7113  fsum2d  11946  fsumiun  11988  fprod2d  12134  iuncld  14789