Theorem 0iun 3923

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3426	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3870	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 661	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3413	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 691	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2162	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   E.wrex 2445   (/)c0 3409   U_ciun 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410  df-iun 3868

This theorem is referenced by:  iununir  3949  rdg0  6355  iunfidisj  6911  fsum2d  11376  fsumiun  11418  fprod2d  11564  iuncld  12755