Theorem 0iun 3917

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3421	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 3864	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 661	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3408	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 691	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2161	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

Syntax hints:   = wceq 1342   e. wcel 2135   E.wrex 2443   (/)c0 3404   U_ciun 3860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-nul 3405  df-iun 3862

This theorem is referenced by:  iununir  3943  rdg0  6346  iunfidisj  6902  fsum2d  11362  fsumiun  11404  fprod2d  11550  iuncld  12656