Theorem 0iun 4070

Description: An empty indexed union is empty. (Contributed by NM, 4-Dec-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
0iun	|- U_ x e. (/) A = (/)

Proof of Theorem 0iun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rex0 3539	. . . 4 |- -. E. x e. (/) y e. A
2		eliun 4016	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> E. x e. (/) y e. A )
3	1, 2	mtbir 682	. . 3 |- -. y e. U_ x e. (/) A
4		noel 3525	. . 3 |- -. y e. (/)
5	3, 4	2false 713	. 2 |- ( y e. U_ x e. (/) A <-> y e. (/) )
6	5	eqriv 2235	1 |- U_ x e. (/) A = (/)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   (/)c0 3520   U_ciun 4012

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521  df-iun 4014

This theorem is used by:  iununir  4096  rdg0  6658  iunfidisj  7260  fsum2d  12202  fsumiun  12244  fprod2d  12390  iuncld  15216