Theorem 2rmorex 2945

Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2112. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rmorex	|- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y e. B E* x e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2rmorex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2461	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
3	2	mobii 2063	. . . . . 6 |- ( E* x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E* x ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
4		df-rmo 2463	. . . . . 6 |- ( E* x e. A E. y e. B ph <-> E* x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
5		19.42v 1906	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	mobii 2063	. . . . . 6 |- ( E* x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* x ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
7	3, 4, 6	3bitr4i 212	. . . . 5 |- ( E* x e. A E. y e. B ph <-> E* x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
8		2moex 2112	. . . . 5 |- ( E* x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> A. y E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylbi 121	. . . 4 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
10		an12 561	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
11	10	mobii 2063	. . . . 5 |- ( E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
12	11	albii 1470	. . . 4 |- ( A. y E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. y E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
13	9, 12	sylib 122	. . 3 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
14		moanimv 2101	. . . 4 |- ( E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
15	14	albii 1470	. . 3 |- ( A. y E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
16	13, 15	sylib 122	. 2 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
17		df-ral 2460	. . 3 |- ( A. y e. B E* x e. A ph <-> A. y ( y e. B -> E* x e. A ph ) )
18		df-rmo 2463	. . . . 5 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
19	18	imbi2i 226	. . . 4 |- ( ( y e. B -> E* x e. A ph ) <-> ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
20	19	albii 1470	. . 3 |- ( A. y ( y e. B -> E* x e. A ph ) <-> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
21	17, 20	bitri 184	. 2 |- ( A. y e. B E* x e. A ph <-> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
22	16, 21	sylibr 134	1 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y e. B E* x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   E*wrmo 2458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rmo 2463

This theorem is referenced by: (None)