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Theorem 2rmorex 2819
Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2034. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2rmorex  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2rmorex
StepHypRef Expression
1 df-rex 2365 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21anbi2i 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  ( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
32mobii 1985 . . . . . 6  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 df-rmo 2367 . . . . . 6  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
5 19.42v 1834 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
65mobii 1985 . . . . . 6  |-  ( E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* x
( x  e.  A  /\  E. y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
73, 4, 63bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
8 2moex 2034 . . . . 5  |-  ( E* x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
97, 8sylbi 119 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y E* x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
10 an12 528 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
1110mobii 1985 . . . . 5  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* x
( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1211albii 1404 . . . 4  |-  ( A. y E* x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. y E* x ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
139, 12sylib 120 . . 3  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y E* x ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
14 moanimv 2023 . . . 4  |-  ( E* x ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( y  e.  B  ->  E* x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1514albii 1404 . . 3  |-  ( A. y E* x ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
1613, 15sylib 120 . 2  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y ( y  e.  B  ->  E* x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
17 df-ral 2364 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x  e.  A  ph ) )
18 df-rmo 2367 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  E* x ( x  e.  A  /\  ph )
)
1918imbi2i 224 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  ->  E* x  e.  A  ph )  <->  ( y  e.  B  ->  E* x
( x  e.  A  /\  ph ) ) )
2019albii 1404 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  B  ->  E* x  e.  A  ph )  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
2117, 20bitri 182 . 2  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  B  ->  E* x ( x  e.  A  /\  ph ) ) )
2216, 21sylibr 132 1  |-  ( E* x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A. y  e.  B  E* x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1287   E.wex 1426    e. wcel 1438   E*wmo 1949   A.wral 2359   E.wrex 2360   E*wrmo 2362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rmo 2367
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