Theorem 2rmorex 2843

Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2046. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rmorex	|- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y e. B E* x e. A ph )

Distinct variable groups:   y, A   x, B   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem 2rmorex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2381	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. B ph <-> E. y ( y e. B /\ ph ) )
2	1	anbi2i 448	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
3	2	mobii 1997	. . . . . 6 |- ( E* x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E* x ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
4		df-rmo 2383	. . . . . 6 |- ( E* x e. A E. y e. B ph <-> E* x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
5		19.42v 1845	. . . . . . 7 |- ( E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
6	5	mobii 1997	. . . . . 6 |- ( E* x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* x ( x e. A /\ E. y ( y e. B /\ ph ) ) )
7	3, 4, 6	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( E* x e. A E. y e. B ph <-> E* x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
8		2moex 2046	. . . . 5 |- ( E* x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> A. y E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
9	7, 8	sylbi 120	. . . 4 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
10		an12 531	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
11	10	mobii 1997	. . . . 5 |- ( E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
12	11	albii 1414	. . . 4 |- ( A. y E* x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. y E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
13	9, 12	sylib 121	. . 3 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
14		moanimv 2035	. . . 4 |- ( E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
15	14	albii 1414	. . 3 |- ( A. y E* x ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
16	13, 15	sylib 121	. 2 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
17		df-ral 2380	. . 3 |- ( A. y e. B E* x e. A ph <-> A. y ( y e. B -> E* x e. A ph ) )
18		df-rmo 2383	. . . . 5 |- ( E* x e. A ph <-> E* x ( x e. A /\ ph ) )
19	18	imbi2i 225	. . . 4 |- ( ( y e. B -> E* x e. A ph ) <-> ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
20	19	albii 1414	. . 3 |- ( A. y ( y e. B -> E* x e. A ph ) <-> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
21	17, 20	bitri 183	. 2 |- ( A. y e. B E* x e. A ph <-> A. y ( y e. B -> E* x ( x e. A /\ ph ) ) )
22	16, 21	sylibr 133	1 |- ( E* x e. A E. y e. B ph -> A. y e. B E* x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1297   E.wex 1436   e. wcel 1448   E*wmo 1961   A.wral 2375   E.wrex 2376   E*wrmo 2378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rmo 2383

This theorem is referenced by: (None)