Theorem 2rmorex 3013

Description: Double restricted quantification with "at most one," analogous to 2moex 2166. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2rmorex	⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2rmorex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2517	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	anbi2i 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
3	2	mobii 2116	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4		df-rmo 2519	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
5		19.42v 1955	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	5	mobii 2116	. . . . . 6 ⊢ (∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7	3, 4, 6	3bitr4i 212	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
8		2moex 2166	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
9	7, 8	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
10		an12 563	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11	10	mobii 2116	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
12	11	albii 1519	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
13	9, 12	sylib 122	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
14		moanimv 2155	. . . 4 ⊢ (∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
15	14	albii 1519	. . 3 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
16	13, 15	sylib 122	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
17		df-ral 2516	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
18		df-rmo 2519	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑))
19	18	imbi2i 226	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
20	19	albii 1519	. . 3 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
21	17, 20	bitri 184	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
22	16, 21	sylibr 134	1 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1396  ∃wex 1541  ∃*wmo 2080   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  ∃*wrmo 2514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rmo 2519

This theorem is referenced by: (None)