Theorem abeq0 3455

Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
abeq0	|- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Proof of Theorem abeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbn 1952	. . 3 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
2	1	albii 1470	. 2 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
3		nfv 1528	. . 3 |- F/ y -. ph
4	3	sb8 1856	. 2 |- ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph )
5		eq0 3443	. . 3 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x | ph } )
6		df-clab 2164	. . . . 5 |- ( y e. { x | ph } <-> [ y / x ] ph )
7	6	notbii 668	. . . 4 |- ( -. y e. { x | ph } <-> -. [ y / x ] ph )
8	7	albii 1470	. . 3 |- ( A. y -. y e. { x | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ph )
9	5, 8	bitri 184	. 2 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ph )
10	2, 4, 9	3bitr4ri 213	1 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   [wsb 1762   e. wcel 2148   {cab 2163   (/)c0 3424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-dif 3133  df-nul 3425

This theorem is referenced by:  opprc  3801