Theorem abeq0 3522

Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
abeq0	|- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Proof of Theorem abeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbn 2003	. . 3 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
2	1	albii 1516	. 2 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
3		nfv 1574	. . 3 |- F/ y -. ph
4	3	sb8 1902	. 2 |- ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph )
5		eq0 3510	. . 3 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x | ph } )
6		df-clab 2216	. . . . 5 |- ( y e. { x | ph } <-> [ y / x ] ph )
7	6	notbii 672	. . . 4 |- ( -. y e. { x | ph } <-> -. [ y / x ] ph )
8	7	albii 1516	. . 3 |- ( A. y -. y e. { x | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ph )
9	5, 8	bitri 184	. 2 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ph )
10	2, 4, 9	3bitr4ri 213	1 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   [wsb 1808   e. wcel 2200   {cab 2215   (/)c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  opprc  3878