ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abeq0 Unicode version

Theorem abeq0 3311
Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
abeq0  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  -.  ph )

Proof of Theorem abeq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbn 1874 . . 3  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
21albii 1404 . 2  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
3 nfv 1466 . . 3  |-  F/ y  -.  ph
43sb8 1784 . 2  |-  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
5 eq0 3299 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  { x  |  ph } )
6 df-clab 2075 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  | 
ph }  <->  [ y  /  x ] ph )
76notbii 629 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  { x  |  ph }  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
87albii 1404 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  |  ph }  <->  A. y  -.  [ y  /  x ] ph )
95, 8bitri 182 . 2  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
102, 4, 93bitr4ri 211 1  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   [wsb 1692   {cab 2074   (/)c0 3284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-nul 3285
This theorem is referenced by:  opprc  3638
  Copyright terms: Public domain W3C validator