ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abeq0 Unicode version

Theorem abeq0 3444
Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
abeq0  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  -.  ph )

Proof of Theorem abeq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbn 1945 . . 3  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ph  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
21albii 1463 . 2  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ph  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
3 nfv 1521 . . 3  |-  F/ y  -.  ph
43sb8 1849 . 2  |-  ( A. x  -.  ph  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  ph )
5 eq0 3432 . . 3  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  { x  |  ph } )
6 df-clab 2157 . . . . 5  |-  ( y  e.  { x  | 
ph }  <->  [ y  /  x ] ph )
76notbii 663 . . . 4  |-  ( -.  y  e.  { x  |  ph }  <->  -.  [ y  /  x ] ph )
87albii 1463 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  |  ph }  <->  A. y  -.  [ y  /  x ] ph )
95, 8bitri 183 . 2  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  [
y  /  x ] ph )
102, 4, 93bitr4ri 212 1  |-  ( { x  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 104   A.wal 1346    = wceq 1348   [wsb 1755    e. wcel 2141   {cab 2156   (/)c0 3414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415
This theorem is referenced by:  opprc  3784
  Copyright terms: Public domain W3C validator