Theorem abeq0 3445

Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
abeq0	|- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Proof of Theorem abeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbn 1945	. . 3 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
2	1	albii 1463	. 2 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
3		nfv 1521	. . 3 |- F/ y -. ph
4	3	sb8 1849	. 2 |- ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph )
5		eq0 3433	. . 3 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x | ph } )
6		df-clab 2157	. . . . 5 |- ( y e. { x | ph } <-> [ y / x ] ph )
7	6	notbii 663	. . . 4 |- ( -. y e. { x | ph } <-> -. [ y / x ] ph )
8	7	albii 1463	. . 3 |- ( A. y -. y e. { x | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ph )
9	5, 8	bitri 183	. 2 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ph )
10	2, 4, 9	3bitr4ri 212	1 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   [wsb 1755   e. wcel 2141   {cab 2156   (/)c0 3414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-nul 3415

This theorem is referenced by:  opprc  3786