Theorem abeq0 3439

Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
abeq0	|- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Proof of Theorem abeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbn 1940	. . 3 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
2	1	albii 1458	. 2 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
3		nfv 1516	. . 3 |- F/ y -. ph
4	3	sb8 1844	. 2 |- ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph )
5		eq0 3427	. . 3 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x | ph } )
6		df-clab 2152	. . . . 5 |- ( y e. { x | ph } <-> [ y / x ] ph )
7	6	notbii 658	. . . 4 |- ( -. y e. { x | ph } <-> -. [ y / x ] ph )
8	7	albii 1458	. . 3 |- ( A. y -. y e. { x | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ph )
9	5, 8	bitri 183	. 2 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ph )
10	2, 4, 9	3bitr4ri 212	1 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1341   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   {cab 2151   (/)c0 3409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410

This theorem is referenced by:  opprc  3779