Theorem abeq0 3527

Description: Condition for a class abstraction to be empty. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
abeq0	|- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Proof of Theorem abeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbn 2005	. . 3 |- ( [ y / x ] -. ph <-> -. [ y / x ] ph )
2	1	albii 1519	. 2 |- ( A. y [ y / x ] -. ph <-> A. y -. [ y / x ] ph )
3		nfv 1577	. . 3 |- F/ y -. ph
4	3	sb8 1904	. 2 |- ( A. x -. ph <-> A. y [ y / x ] -. ph )
5		eq0 3515	. . 3 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x | ph } )
6		df-clab 2218	. . . . 5 |- ( y e. { x | ph } <-> [ y / x ] ph )
7	6	notbii 674	. . . 4 |- ( -. y e. { x | ph } <-> -. [ y / x ] ph )
8	7	albii 1519	. . 3 |- ( A. y -. y e. { x | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ph )
9	5, 8	bitri 184	. 2 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ph )
10	2, 4, 9	3bitr4ri 213	1 |- ( { x | ph } = (/) <-> A. x -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   [wsb 1810   e. wcel 2202   {cab 2217   (/)c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  opprc  3888