Theorem rabeq0 3552

Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
rabeq0	|- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Proof of Theorem rabeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imnan 701	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. ph ) <-> -. ( x e. A /\ ph ) )
2	1	albii 1523	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. ph ) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
3		df-ral 2533	. 2 |- ( A. x e. A -. ph <-> A. x ( x e. A -> -. ph ) )
4		sbn 2012	. . . 4 |- ( [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
5	4	albii 1523	. . 3 |- ( A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
6		nfv 1581	. . . 4 |- F/ y -. ( x e. A /\ ph )
7	6	sb8 1909	. . 3 |- ( A. x -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) )
8		eq0 3540	. . . 4 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x e. A | ph } )
9		df-rab 2537	. . . . . . . 8 |- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
10	9	eleq2i 2305	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } )
11		df-clab 2225	. . . . . . 7 |- ( y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
13	12	notbii 678	. . . . 5 |- ( -. y e. { x e. A | ph } <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
14	13	albii 1523	. . . 4 |- ( A. y -. y e. { x e. A | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
15	8, 14	bitri 184	. . 3 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
16	5, 7, 15	3bitr4ri 213	. 2 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
17	2, 3, 16	3bitr4ri 213	1 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   [wsb 1815   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   (/)c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-nul 3521

This theorem is used by:  rabnc  3555  rabrsndc  3779  exmidsssnc  4342  ssfilem  7183  ssfilemd  7185  diffitest  7197  ssfirab  7250  ctssexmid  7496  exmidonfinlem  7551  iooidg  10327  icc0r  10344  fznlem  10461  ioo0  10710  ico0  10712  ioc0  10713  sshashneg  11302  hashfibclem  11303  hashfibc  11304  phiprmpw  13028  hashgcdeq  13046  unennn  13345  znnen  13346  fczpsrbag  15169  ppiqub  16310  lgsquadlem2  16419  pw0ss  16546  umgrnloop0  16580  lfgrnloopen  16596  vtxd0nedgbfi  16762  clwwlkn0  16871  eupth2lembfi  16940  wexmiddiffilem  17265  wexmiddifxylem  17267