Theorem rabeq0 3498

Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
rabeq0	|- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Proof of Theorem rabeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imnan 692	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. ph ) <-> -. ( x e. A /\ ph ) )
2	1	albii 1494	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. ph ) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
3		df-ral 2491	. 2 |- ( A. x e. A -. ph <-> A. x ( x e. A -> -. ph ) )
4		sbn 1981	. . . 4 |- ( [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
5	4	albii 1494	. . 3 |- ( A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
6		nfv 1552	. . . 4 |- F/ y -. ( x e. A /\ ph )
7	6	sb8 1880	. . 3 |- ( A. x -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) )
8		eq0 3487	. . . 4 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x e. A | ph } )
9		df-rab 2495	. . . . . . . 8 |- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
10	9	eleq2i 2274	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } )
11		df-clab 2194	. . . . . . 7 |- ( y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
13	12	notbii 670	. . . . 5 |- ( -. y e. { x e. A | ph } <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
14	13	albii 1494	. . . 4 |- ( A. y -. y e. { x e. A | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
15	8, 14	bitri 184	. . 3 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
16	5, 7, 15	3bitr4ri 213	. 2 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
17	2, 3, 16	3bitr4ri 213	1 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   = wceq 1373   [wsb 1786   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   {crab 2490   (/)c0 3468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-nul 3469

This theorem is referenced by:  rabnc  3501  rabrsndc  3711  exmidsssnc  4263  ssfilem  6998  diffitest  7010  ssfirab  7059  ctssexmid  7278  exmidonfinlem  7332  iooidg  10066  icc0r  10083  fznlem  10198  ioo0  10439  ico0  10441  ioc0  10442  phiprmpw  12659  hashgcdeq  12677  unennn  12883  znnen  12884  fczpsrbag  14548  lgsquadlem2  15670  pw0ss  15794  lfgrnloopen  15839