ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rabeq0 Unicode version

Theorem rabeq0 3436
Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
rabeq0  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ph )

Proof of Theorem rabeq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imnan 680 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  ph )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  ph ) )
21albii 1457 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  ph )  <->  A. x  -.  ( x  e.  A  /\  ph ) )
3 df-ral 2447 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  ph  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  ph )
)
4 sbn 1939 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  -.  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )
54albii 1457 . . 3  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. y  -.  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )
6 nfv 1515 . . . 4  |-  F/ y  -.  ( x  e.  A  /\  ph )
76sb8 1843 . . 3  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  (
x  e.  A  /\  ph ) )
8 eq0 3425 . . . 4  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  { x  e.  A  |  ph }
)
9 df-rab 2451 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  ph }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
109eleq2i 2231 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  y  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } )
11 df-clab 2151 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  <->  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )
1210, 11bitri 183 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )
1312notbii 658 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  -. 
[ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)
1413albii 1457 . . . 4  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  ph }  <->  A. y  -.  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )
158, 14bitri 183 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)
165, 7, 153bitr4ri 212 . 2  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  -.  ( x  e.  A  /\  ph ) )
172, 3, 163bitr4ri 212 1  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1340    = wceq 1342   [wsb 1749    e. wcel 2135   {cab 2150   A.wral 2442   {crab 2446   (/)c0 3407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rab 2451  df-v 2726  df-dif 3116  df-nul 3408
This theorem is referenced by:  rabnc  3439  rabrsndc  3641  exmidsssnc  4179  ssfilem  6835  diffitest  6847  ssfirab  6893  ctssexmid  7108  exmidonfinlem  7143  iooidg  9839  icc0r  9856  fznlem  9970  ioo0  10189  ico0  10191  ioc0  10192  phiprmpw  12148  hashgcdeq  12165  unennn  12324  znnen  12325
  Copyright terms: Public domain W3C validator