Theorem rabeq0 3526

Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
rabeq0	|- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Proof of Theorem rabeq0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imnan 697	. . 3 |- ( ( x e. A -> -. ph ) <-> -. ( x e. A /\ ph ) )
2	1	albii 1519	. 2 |- ( A. x ( x e. A -> -. ph ) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
3		df-ral 2516	. 2 |- ( A. x e. A -. ph <-> A. x ( x e. A -> -. ph ) )
4		sbn 2005	. . . 4 |- ( [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
5	4	albii 1519	. . 3 |- ( A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
6		nfv 1577	. . . 4 |- F/ y -. ( x e. A /\ ph )
7	6	sb8 1904	. . 3 |- ( A. x -. ( x e. A /\ ph ) <-> A. y [ y / x ] -. ( x e. A /\ ph ) )
8		eq0 3515	. . . 4 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. y e. { x e. A | ph } )
9		df-rab 2520	. . . . . . . 8 |- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
10	9	eleq2i 2298	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } )
11		df-clab 2218	. . . . . . 7 |- ( y e. { x | ( x e. A /\ ph ) } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. A | ph } <-> [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
13	12	notbii 674	. . . . 5 |- ( -. y e. { x e. A | ph } <-> -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
14	13	albii 1519	. . . 4 |- ( A. y -. y e. { x e. A | ph } <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
15	8, 14	bitri 184	. . 3 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. y -. [ y / x ] ( x e. A /\ ph ) )
16	5, 7, 15	3bitr4ri 213	. 2 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x -. ( x e. A /\ ph ) )
17	2, 3, 16	3bitr4ri 213	1 |- ( { x e. A | ph } = (/) <-> A. x e. A -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   [wsb 1810   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   {crab 2515   (/)c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  rabnc  3529  rabrsndc  3743  exmidsssnc  4299  ssfilem  7105  ssfilemd  7107  diffitest  7119  ssfirab  7172  ctssexmid  7409  exmidonfinlem  7464  iooidg  10205  icc0r  10222  fznlem  10338  ioo0  10582  ico0  10584  ioc0  10585  phiprmpw  12874  hashgcdeq  12892  unennn  13098  znnen  13099  fczpsrbag  14767  lgsquadlem2  15897  pw0ss  16024  umgrnloop0  16058  lfgrnloopen  16074  vtxd0nedgbfi  16240  clwwlkn0  16349  eupth2lembfi  16418