ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rabeq0 Unicode version

Theorem rabeq0 3310
Description: Condition for a restricted class abstraction to be empty. (Contributed by Jeff Madsen, 7-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
rabeq0  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ph )

Proof of Theorem rabeq0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imnan 659 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  ph )  <->  -.  (
x  e.  A  /\  ph ) )
21albii 1404 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  -.  ph )  <->  A. x  -.  ( x  e.  A  /\  ph ) )
3 df-ral 2364 . 2  |-  ( A. x  e.  A  -.  ph  <->  A. x ( x  e.  A  ->  -.  ph )
)
4 sbn 1874 . . . 4  |-  ( [ y  /  x ]  -.  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  -.  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )
54albii 1404 . . 3  |-  ( A. y [ y  /  x ]  -.  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. y  -.  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )
6 nfv 1466 . . . 4  |-  F/ y  -.  ( x  e.  A  /\  ph )
76sb8 1784 . . 3  |-  ( A. x  -.  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. y [ y  /  x ]  -.  (
x  e.  A  /\  ph ) )
8 eq0 3299 . . . 4  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  { x  e.  A  |  ph }
)
9 df-rab 2368 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  ph }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }
109eleq2i 2154 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  y  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  ph ) } )
11 df-clab 2075 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  ph ) }  <->  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph ) )
1210, 11bitri 182 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  [ y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )
1312notbii 629 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  -. 
[ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)
1413albii 1404 . . . 4  |-  ( A. y  -.  y  e.  {
x  e.  A  |  ph }  <->  A. y  -.  [
y  /  x ]
( x  e.  A  /\  ph ) )
158, 14bitri 182 . . 3  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. y  -.  [ y  /  x ] ( x  e.  A  /\  ph )
)
165, 7, 153bitr4ri 211 . 2  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  -.  ( x  e.  A  /\  ph ) )
172, 3, 163bitr4ri 211 1  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   [wsb 1692   {cab 2074   A.wral 2359   {crab 2363   (/)c0 3284
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-nul 3285
This theorem is referenced by:  rabnc  3313  rabrsndc  3505  ssfilem  6571  diffitest  6583  ssfirab  6622  iooidg  9296  icc0r  9313  fznlem  9424  ioo0  9636  ico0  9638  ioc0  9639  phiprmpw  11291  hashgcdeq  11297  unennn  11303  znnen  11304
  Copyright terms: Public domain W3C validator