Theorem bj-nalset 13777

Description: nalset 4112 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nalset	|- -. E. x A. y y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1636	. 2 |- ( A. x E. y -. y e. x -> -. E. x A. y y e. x )
2		ax-bdel 13703	. . . . 5 |- BOUNDED z e. z
3	2	ax-bdn 13699	. . . 4 |- BOUNDED -. z e. z
4	3	bdsep1 13767	. . 3 |- E. y A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) )
5		elequ1 2140	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( z e. y <-> y e. y ) )
6		elequ1 2140	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x <-> y e. x ) )
7		elequ1 2140	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. z ) )
8		elequ2 2141	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
9	7, 8	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. y ) )
10	9	notbid 657	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z e. z <-> -. y e. y ) )
11	6, 10	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( z e. x /\ -. z e. z ) <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
12	5, 11	bibi12d 234	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) <-> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) ) )
13	12	spv 1848	. . . 4 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
14		pclem6 1364	. . . 4 |- ( ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) -> -. y e. x )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> -. y e. x )
16	4, 15	eximii 1590	. 2 |- E. y -. y e. x
17	1, 16	mpg 1439	1 |- -. E. x A. y y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1341   E.wex 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-5 1435  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-bdn 13699  ax-bdel 13703  ax-bdsep 13766

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449

This theorem is referenced by:  bj-vprc  13778