Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nalset Unicode version

Theorem bj-nalset 11129
Description: nalset 3934 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexnim 1580 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  ->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-bdel 11055 . . . . 5  |- BOUNDED  z  e.  z
32ax-bdn 11051 . . . 4  |- BOUNDED  -.  z  e.  z
43bdsep1 11119 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
5 elequ1 1642 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
6 elequ1 1642 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
7 elequ1 1642 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
8 elequ2 1643 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
97, 8bitrd 186 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
109notbid 625 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
116, 10anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
125, 11bibi12d 233 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1312spv 1783 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
14 pclem6 1306 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
164, 15eximii 1534 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
171, 16mpg 1381 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283   E.wex 1422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-5 1377  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-bdn 11051  ax-bdel 11055  ax-bdsep 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391
This theorem is referenced by:  bj-vprc  11130
  Copyright terms: Public domain W3C validator