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Theorem bj-nalset 13629
Description: nalset 4107 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexnim 1635 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  ->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-bdel 13555 . . . . 5  |- BOUNDED  z  e.  z
32ax-bdn 13551 . . . 4  |- BOUNDED  -.  z  e.  z
43bdsep1 13619 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
5 elequ1 2139 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
6 elequ1 2139 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
7 elequ1 2139 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
8 elequ2 2140 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
97, 8bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
109notbid 657 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
116, 10anbi12d 465 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
125, 11bibi12d 234 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1312spv 1847 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
14 pclem6 1363 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
164, 15eximii 1589 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
171, 16mpg 1438 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1340   E.wex 1479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-5 1434  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-bdn 13551  ax-bdel 13555  ax-bdsep 13618
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448
This theorem is referenced by:  bj-vprc  13630
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