Theorem bj-nalset 15625

Description: nalset 4164 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nalset	|- -. E. x A. y y e. x

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1662	. 2 |- ( A. x E. y -. y e. x -> -. E. x A. y y e. x )
2		ax-bdel 15551	. . . . 5 |- BOUNDED z e. z
3	2	ax-bdn 15547	. . . 4 |- BOUNDED -. z e. z
4	3	bdsep1 15615	. . 3 |- E. y A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) )
5		elequ1 2171	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( z e. y <-> y e. y ) )
6		elequ1 2171	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x <-> y e. x ) )
7		elequ1 2171	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. z ) )
8		elequ2 2172	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( y e. z <-> y e. y ) )
9	7, 8	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( z e. z <-> y e. y ) )
10	9	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( -. z e. z <-> -. y e. y ) )
11	6, 10	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( z e. x /\ -. z e. z ) <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
12	5, 11	bibi12d 235	. . . . 5 |- ( z = y -> ( ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) <-> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) ) )
13	12	spv 1874	. . . 4 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) )
14		pclem6 1385	. . . 4 |- ( ( y e. y <-> ( y e. x /\ -. y e. y ) ) -> -. y e. x )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( A. z ( z e. y <-> ( z e. x /\ -. z e. z ) ) -> -. y e. x )
16	4, 15	eximii 1616	. 2 |- E. y -. y e. x
17	1, 16	mpg 1465	1 |- -. E. x A. y y e. x

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-5 1461  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-bdn 15547  ax-bdel 15551  ax-bdsep 15614

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475

This theorem is referenced by:  bj-vprc  15626