Theorem brdif 3976

Description: The difference of two binary relations. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
brdif	|- ( A ( R \ S ) B <-> ( A R B /\ -. A S B ) )

Proof of Theorem brdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3075	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( R \ S ) <-> ( <. A , B >. e. R /\ -. <. A , B >. e. S ) )
2		df-br 3925	. 2 |- ( A ( R \ S ) B <-> <. A , B >. e. ( R \ S ) )
3		df-br 3925	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
4		df-br 3925	. . . 4 |- ( A S B <-> <. A , B >. e. S )
5	4	notbii 657	. . 3 |- ( -. A S B <-> -. <. A , B >. e. S )
6	3, 5	anbi12i 455	. 2 |- ( ( A R B /\ -. A S B ) <-> ( <. A , B >. e. R /\ -. <. A , B >. e. S ) )
7	1, 2, 6	3bitr4i 211	1 |- ( A ( R \ S ) B <-> ( A R B /\ -. A S B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   \ cdif 3063   <.cop 3525   class class class wbr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-dif 3068  df-br 3925

This theorem is referenced by:  fndmdif  5518  brdifun  6449