Theorem brdif 4035

Description: The difference of two binary relations. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
brdif	|- ( A ( R \ S ) B <-> ( A R B /\ -. A S B ) )

Proof of Theorem brdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3125	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( R \ S ) <-> ( <. A , B >. e. R /\ -. <. A , B >. e. S ) )
2		df-br 3983	. 2 |- ( A ( R \ S ) B <-> <. A , B >. e. ( R \ S ) )
3		df-br 3983	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
4		df-br 3983	. . . 4 |- ( A S B <-> <. A , B >. e. S )
5	4	notbii 658	. . 3 |- ( -. A S B <-> -. <. A , B >. e. S )
6	3, 5	anbi12i 456	. 2 |- ( ( A R B /\ -. A S B ) <-> ( <. A , B >. e. R /\ -. <. A , B >. e. S ) )
7	1, 2, 6	3bitr4i 211	1 |- ( A ( R \ S ) B <-> ( A R B /\ -. A S B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   \ cdif 3113   <.cop 3579   class class class wbr 3982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-dif 3118  df-br 3983

This theorem is referenced by:  fndmdif  5590  brdifun  6528