Theorem eldif 3166

Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eldif	|- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )

Proof of Theorem eldif

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 |- ( A e. ( B \ C ) -> A e. _V )
2		elex 2774	. . 3 |- ( A e. B -> A e. _V )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. B /\ -. A e. C ) -> A e. _V )
4		eleq1 2259	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
5		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. C <-> A e. C ) )
6	5	notbid 668	. . . 4 |- ( x = A -> ( -. x e. C <-> -. A e. C ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x e. B /\ -. x e. C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) )
8		df-dif 3159	. . 3 |- ( B \ C ) = { x | ( x e. B /\ -. x e. C ) }
9	7, 8	elab2g 2911	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) ) )
10	1, 3, 9	pm5.21nii 705	1 |- ( A e. ( B \ C ) <-> ( A e. B /\ -. A e. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159

This theorem is referenced by:  eldifd  3167  eldifad  3168  eldifbd  3169  difeqri  3283  eldifi  3285  eldifn  3286  difdif  3288  ddifstab  3295  ssconb  3296  sscon  3297  ssdif  3298  raldifb  3303  dfss4st  3396  ssddif  3397  unssdif  3398  inssdif  3399  difin  3400  unssin  3402  inssun  3403  invdif  3405  indif  3406  difundi  3415  difindiss  3417  indifdir  3419  undif3ss  3424  difin2  3425  symdifxor  3429  dfnul2  3452  reldisj  3502  disj3  3503  undif4  3513  ssdif0im  3515  inssdif0im  3518  ssundifim  3534  eldifpr  3649  eldiftp  3668  eldifsn  3749  difprsnss  3760  iundif2ss  3982  iindif2m  3984  brdif  4086  unidif0  4200  eldifpw  4512  elirr  4577  en2lp  4590  difopab  4799  intirr  5056  cnvdif  5076  imadiflem  5337  imadif  5338  elfi2  7038  xrlenlt  8091  nzadd  9378  irradd  9720  irrmul  9721  fzdifsuc  10156  fisumss  11557  prodssdc  11754  fprodssdc  11755  inffinp1  12646  bj-charfunr  15456