ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eldif Unicode version

Theorem eldif 3050
Description: Expansion of membership in a class difference. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)
Assertion
Ref Expression
eldif  |-  ( A  e.  ( B  \  C )  <->  ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  C ) )

Proof of Theorem eldif
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2671 . 2  |-  ( A  e.  ( B  \  C )  ->  A  e.  _V )
2 elex 2671 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
32adantr 274 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  C
)  ->  A  e.  _V )
4 eleq1 2180 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  B  <->  A  e.  B ) )
5 eleq1 2180 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  C  <->  A  e.  C ) )
65notbid 641 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  C  <->  -.  A  e.  C ) )
74, 6anbi12d 464 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
)  <->  ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  C ) ) )
8 df-dif 3043 . . 3  |-  ( B 
\  C )  =  { x  |  ( x  e.  B  /\  -.  x  e.  C
) }
97, 8elab2g 2804 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( B  \  C )  <->  ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  C ) ) )
101, 3, 9pm5.21nii 678 1  |-  ( A  e.  ( B  \  C )  <->  ( A  e.  B  /\  -.  A  e.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    \ cdif 3038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-v 2662  df-dif 3043
This theorem is referenced by:  eldifd  3051  eldifad  3052  eldifbd  3053  difeqri  3166  eldifi  3168  eldifn  3169  difdif  3171  ddifstab  3178  ssconb  3179  sscon  3180  ssdif  3181  raldifb  3186  dfss4st  3279  ssddif  3280  unssdif  3281  inssdif  3282  difin  3283  unssin  3285  inssun  3286  invdif  3288  indif  3289  difundi  3298  difindiss  3300  indifdir  3302  undif3ss  3307  difin2  3308  symdifxor  3312  dfnul2  3335  reldisj  3384  disj3  3385  undif4  3395  ssdif0im  3397  inssdif0im  3400  ssundifim  3416  eldifsn  3620  difprsnss  3628  iundif2ss  3848  iindif2m  3850  brdif  3951  unidif0  4061  eldifpw  4368  elirr  4426  en2lp  4439  difopab  4642  intirr  4895  cnvdif  4915  imadiflem  5172  imadif  5173  elfi2  6828  xrlenlt  7797  nzadd  9074  irradd  9406  irrmul  9407  fzdifsuc  9829  fisumss  11129  inffinp1  11869
  Copyright terms: Public domain W3C validator