Theorem elcnv 4716

Description: Membership in a converse. Equation 5 of [Suppes] p. 62. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elcnv	|- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem elcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 4547	. . 3 |- `' R = { <. x , y >. | y R x }
2	1	eleq2i 2206	. 2 |- ( A e. `' R <-> A e. { <. x , y >. | y R x } )
3		elopab 4180	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | y R x } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   {copab 3988   `'ccnv 4538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-cnv 4547

This theorem is referenced by:  elcnv2  4717