Theorem elcnv 4781

Description: Membership in a converse. Equation 5 of [Suppes] p. 62. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elcnv	|- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem elcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 4612	. . 3 |- `' R = { <. x , y >. | y R x }
2	1	eleq2i 2233	. 2 |- ( A e. `' R <-> A e. { <. x , y >. | y R x } )
3		elopab 4236	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | y R x } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   {copab 4042   `'ccnv 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-cnv 4612

This theorem is referenced by:  elcnv2  4782