Theorem elcnv 4856

Description: Membership in a converse. Equation 5 of [Suppes] p. 62. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elcnv	|- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, R, y

Proof of Theorem elcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnv 4684	. . 3 |- `' R = { <. x , y >. | y R x }
2	1	eleq2i 2272	. 2 |- ( A e. `' R <-> A e. { <. x , y >. | y R x } )
3		elopab 4305	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | y R x } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. `' R <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ y R x ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4045   {copab 4105   `'ccnv 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4107  df-cnv 4684

This theorem is referenced by:  elcnv2  4857