Theorem elopab 4219

Description: Membership in a class abstraction of ordered pairs. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elopab	|- ( A e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem elopab

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2723	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ph } -> A e. _V )
2		vex 2715	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2715	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opex 4190	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
5		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. _V <-> <. x , y >. e. _V ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> A e. _V )
7	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) -> A e. _V )
8	7	exlimivv 1876	. 2 |- ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) -> A e. _V )
9		eqeq1 2164	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z = <. x , y >. <-> A = <. x , y >. ) )
10	9	anbi1d 461	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )
11	10	2exbidv 1848	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )
12		df-opab 4027	. . 3 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
13	11, 12	elab2g 2859	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )
14	1, 8, 13	pm5.21nii 694	1 |- ( A e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   <.cop 3563   {copab 4025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-opab 4027

This theorem is referenced by:  opelopabsbALT  4220  opelopabsb  4221  opelopabt  4223  opelopabga  4224  opabm  4241  iunopab  4242  epelg  4251  elxp  4604  elco  4753  elcnv  4764  dfmpt3  5293  0neqopab  5867  brabvv  5868  opabex3d  6070  opabex3  6071