Theorem elopab 4180

Description: Membership in a class abstraction of pairs. (Contributed by NM, 24-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elopab	|- ( A e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) )

Distinct variable groups:   x, A   y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem elopab

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. 2 |- ( A e. { <. x , y >. | ph } -> A e. _V )
2		vex 2689	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2689	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opex 4151	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
5		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( A = <. x , y >. -> ( A e. _V <-> <. x , y >. e. _V ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . . 4 |- ( A = <. x , y >. -> A e. _V )
7	6	adantr 274	. . 3 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ph ) -> A e. _V )
8	7	exlimivv 1868	. 2 |- ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) -> A e. _V )
9		eqeq1 2146	. . . . 5 |- ( z = A -> ( z = <. x , y >. <-> A = <. x , y >. ) )
10	9	anbi1d 460	. . . 4 |- ( z = A -> ( ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )
11	10	2exbidv 1840	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )
12		df-opab 3990	. . 3 |- { <. x , y >. | ph } = { z | E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ph ) }
13	11, 12	elab2g 2831	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) ) )
14	1, 8, 13	pm5.21nii 693	1 |- ( A e. { <. x , y >. | ph } <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ph ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   <.cop 3530   {copab 3988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990

This theorem is referenced by:  opelopabsbALT  4181  opelopabsb  4182  opelopabt  4184  opelopabga  4185  opabm  4202  iunopab  4203  epelg  4212  elxp  4556  elco  4705  elcnv  4716  dfmpt3  5245  0neqopab  5816  brabvv  5817  opabex3d  6019  opabex3  6020