Theorem eqsnm 3599

Description: Two ways to express that an inhabited set equals a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eqsnm	|- ( E. x x e. A -> ( A = { B } <-> A. x e. A x = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem eqsnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3015	. . 3 |- ( A C_ { B } <-> A. x e. A x e. { B } )
2		velsn 3463	. . . 4 |- ( x e. { B } <-> x = B )
3	2	ralbii 2384	. . 3 |- ( A. x e. A x e. { B } <-> A. x e. A x = B )
4	1, 3	bitri 182	. 2 |- ( A C_ { B } <-> A. x e. A x = B )
5		sssnm 3598	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( A C_ { B } <-> A = { B } ) )
6	4, 5	syl5rbbr 193	1 |- ( E. x x e. A -> ( A = { B } <-> A. x e. A x = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   A.wral 2359   C_ wss 2999   {csn 3446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-sn 3452

This theorem is referenced by:  nninfall  11855