Theorem 01eq0ring 13951

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	|- B = ( Base ` R )
0ring.0	|- .0. = ( 0g ` R )
0ring01eq.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	|- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2207	. 2 |- ( .0. = .1. <-> .1. = .0. )
2		0ring.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		0ring.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	ring0cl 13783	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
5		elex2 2788	. . . 4 |- ( .0. e. B -> E. x x e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( R e. Ring -> E. x x e. B )
7	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> .0. e. B )
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
9	2, 8, 3	ring1eq0 13810	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ .0. e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
10	7, 9	mpd3an3 1351	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
11	10	impancom 260	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> ( x e. B -> x = .0. ) )
12	11	ralrimiv 2578	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> A. x e. B x = .0. )
13		eqsnm 3796	. . . 4 |- ( E. x x e. B -> ( B = { .0. } <-> A. x e. B x = .0. ) )
14	13	biimpar 297	. . 3 |- ( ( E. x x e. B /\ A. x e. B x = .0. ) -> B = { .0. } )
15	6, 12, 14	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> B = { .0. } )
16	1, 15	sylan2b 287	1 |- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   {csn 3633   ` cfv 5271   Basecbs 12832   0gc0g 13088   1rcur 13721   Ringcrg 13758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760

This theorem is referenced by: (None)