Theorem 01eq0ring 13922

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	|- B = ( Base ` R )
0ring.0	|- .0. = ( 0g ` R )
0ring01eq.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	|- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2206	. 2 |- ( .0. = .1. <-> .1. = .0. )
2		0ring.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		0ring.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	ring0cl 13754	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
5		elex2 2787	. . . 4 |- ( .0. e. B -> E. x x e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( R e. Ring -> E. x x e. B )
7	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> .0. e. B )
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
9	2, 8, 3	ring1eq0 13781	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ .0. e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
10	7, 9	mpd3an3 1350	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
11	10	impancom 260	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> ( x e. B -> x = .0. ) )
12	11	ralrimiv 2577	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> A. x e. B x = .0. )
13		eqsnm 3795	. . . 4 |- ( E. x x e. B -> ( B = { .0. } <-> A. x e. B x = .0. ) )
14	13	biimpar 297	. . 3 |- ( ( E. x x e. B /\ A. x e. B x = .0. ) -> B = { .0. } )
15	6, 12, 14	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> B = { .0. } )
16	1, 15	sylan2b 287	1 |- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   {csn 3632   ` cfv 5270   Basecbs 12803   0gc0g 13059   1rcur 13692   Ringcrg 13729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-mgp 13654  df-ur 13693  df-ring 13731

This theorem is referenced by: (None)