Theorem 01eq0ring 14147

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	|- B = ( Base ` R )
0ring.0	|- .0. = ( 0g ` R )
0ring01eq.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	|- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2231	. 2 |- ( .0. = .1. <-> .1. = .0. )
2		0ring.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		0ring.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	ring0cl 13979	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
5		elex2 2816	. . . 4 |- ( .0. e. B -> E. x x e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( R e. Ring -> E. x x e. B )
7	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> .0. e. B )
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
9	2, 8, 3	ring1eq0 14006	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ .0. e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
10	7, 9	mpd3an3 1372	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
11	10	impancom 260	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> ( x e. B -> x = .0. ) )
12	11	ralrimiv 2602	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> A. x e. B x = .0. )
13		eqsnm 3832	. . . 4 |- ( E. x x e. B -> ( B = { .0. } <-> A. x e. B x = .0. ) )
14	13	biimpar 297	. . 3 |- ( ( E. x x e. B /\ A. x e. B x = .0. ) -> B = { .0. } )
15	6, 12, 14	syl2an2r 597	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> B = { .0. } )
16	1, 15	sylan2b 287	1 |- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {csn 3666   ` cfv 5317   Basecbs 13027   0gc0g 13284   1rcur 13917   Ringcrg 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-mgp 13879  df-ur 13918  df-ring 13956

This theorem is referenced by: (None)