Theorem 01eq0ring 14334

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	|- B = ( Base ` R )
0ring.0	|- .0. = ( 0g ` R )
0ring01eq.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	|- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2234	. 2 |- ( .0. = .1. <-> .1. = .0. )
2		0ring.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		0ring.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	ring0cl 14165	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
5		elex2 2830	. . . 4 |- ( .0. e. B -> E. x x e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( R e. Ring -> E. x x e. B )
7	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> .0. e. B )
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
9	2, 8, 3	ring1eq0 14192	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ .0. e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
10	7, 9	mpd3an3 1375	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
11	10	impancom 260	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> ( x e. B -> x = .0. ) )
12	11	ralrimiv 2614	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> A. x e. B x = .0. )
13		eqsnm 3859	. . . 4 |- ( E. x x e. B -> ( B = { .0. } <-> A. x e. B x = .0. ) )
14	13	biimpar 297	. . 3 |- ( ( E. x x e. B /\ A. x e. B x = .0. ) -> B = { .0. } )
15	6, 12, 14	syl2an2r 599	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> B = { .0. } )
16	1, 15	sylan2b 287	1 |- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   {csn 3689   ` cfv 5352   Basecbs 13212   0gc0g 13469   1rcur 14103   Ringcrg 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142

This theorem is referenced by: (None)