Theorem 01eq0ring 14202

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	|- B = ( Base ` R )
0ring.0	|- .0. = ( 0g ` R )
0ring01eq.1	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	|- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2233	. 2 |- ( .0. = .1. <-> .1. = .0. )
2		0ring.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
3		0ring.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
4	2, 3	ring0cl 14033	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. e. B )
5		elex2 2819	. . . 4 |- ( .0. e. B -> E. x x e. B )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( R e. Ring -> E. x x e. B )
7	4	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> .0. e. B )
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
9	2, 8, 3	ring1eq0 14060	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ .0. e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
10	7, 9	mpd3an3 1374	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B ) -> ( .1. = .0. -> x = .0. ) )
11	10	impancom 260	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> ( x e. B -> x = .0. ) )
12	11	ralrimiv 2604	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> A. x e. B x = .0. )
13		eqsnm 3838	. . . 4 |- ( E. x x e. B -> ( B = { .0. } <-> A. x e. B x = .0. ) )
14	13	biimpar 297	. . 3 |- ( ( E. x x e. B /\ A. x e. B x = .0. ) -> B = { .0. } )
15	6, 12, 14	syl2an2r 599	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ .1. = .0. ) -> B = { .0. } )
16	1, 15	sylan2b 287	1 |- ( ( R e. Ring /\ .0. = .1. ) -> B = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   A.wral 2510   {csn 3669   ` cfv 5326   Basecbs 13081   0gc0g 13338   1rcur 13971   Ringcrg 14008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010

This theorem is referenced by: (None)