Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfall Unicode version

Theorem nninfall 12788
 Description: Given a decidable predicate on ℕ∞, showing it holds for natural numbers and the point at infinity suffices to show it holds everywhere. The sense in which is a decidable predicate is that it assigns a value of either or (which can be thought of as false and true) to every element of ℕ∞. Lemma 3.5 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfall.q
nninfall.inf
nninfall.n
Assertion
Ref Expression
nninfall
Distinct variable groups:   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem nninfall
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1n0 6259 . . . . 5
21nesymi 2313 . . . 4
3 simplr 500 . . . . . . . . . . 11
4 nninff 12782 . . . . . . . . . . . 12
54ffnd 5209 . . . . . . . . . . 11
63, 5syl 14 . . . . . . . . . 10
7 nninfall.q . . . . . . . . . . . . . . 15
87ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . . . 14
9 nninfall.inf . . . . . . . . . . . . . . 15
109ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . . . 14
11 nninfall.n . . . . . . . . . . . . . . 15
1211ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . . . 14
13 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14
148, 10, 12, 3, 13nninfalllem1 12787 . . . . . . . . . . . . 13
15 eqeq1 2106 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615ralrn 5490 . . . . . . . . . . . . . 14
173, 5, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
1814, 17mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12
19 peano1 4446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 elex2 2657 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2119, 20ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 fdm 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2322eleq2d 2169 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423exbidv 1764 . . . . . . . . . . . . . . 15
2521, 24mpbiri 167 . . . . . . . . . . . . . 14
26 dmmrnm 4696 . . . . . . . . . . . . . . 15
27 eqsnm 3629 . . . . . . . . . . . . . . 15
2826, 27sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . 14
2925, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
303, 4, 293syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3118, 30mpbird 166 . . . . . . . . . . 11
32 eqimss 3101 . . . . . . . . . . 11
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . 10
34 df-f 5063 . . . . . . . . . 10
356, 33, 34sylanbrc 411 . . . . . . . . 9
36 1onn 6346 . . . . . . . . . 10
37 fconst2g 5567 . . . . . . . . . 10
3836, 37ax-mp 7 . . . . . . . . 9
3935, 38sylib 121 . . . . . . . 8
40 fconstmpt 4524 . . . . . . . 8
4139, 40syl6eq 2148 . . . . . . 7
4241fveq2d 5357 . . . . . 6
4342, 13, 103eqtr3d 2140 . . . . 5
4443ex 114 . . . 4
452, 44mtoi 631 . . 3
46 elmapi 6494 . . . . . . 7
477, 46syl 14 . . . . . 6
4847ffvelrnda 5487 . . . . 5
49 elpri 3497 . . . . . 6
50 df2o3 6257 . . . . . 6
5149, 50eleq2s 2194 . . . . 5
5248, 51syl 14 . . . 4
5352orcomd 689 . . 3
5445, 53ecased 1295 . 2
5554ralrimiva 2464 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wo 670   wceq 1299  wex 1436   wcel 1448  wral 2375   wss 3021  c0 3310  cif 3421  csn 3474  cpr 3475   cmpt 3929  com 4442   cxp 4475   cdm 4477   crn 4478   wfn 5054  wf 5055  cfv 5059  (class class class)co 5706  c1o 6236  c2o 6237   cmap 6472  ℕ∞xnninf 6917 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1o 6243  df-2o 6244  df-map 6474  df-nninf 6919 This theorem is referenced by:  nninfsel  12797  nninffeq  12800
 Copyright terms: Public domain W3C validator