Theorem dfss3 3092

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	|- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3091	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
2		df-ral 2422	. 2 |- ( A. x e. A x e. B <-> A. x ( x e. A -> x e. B ) )
3	1, 2	bitr4i 186	1 |- ( A C_ B <-> A. x e. A x e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1330   e. wcel 1481   A.wral 2417   C_ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-11 1485  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-ral 2422  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  ssrab  3180  eqsnm  3690  uni0b  3769  uni0c  3770  ssint  3795  ssiinf  3870  sspwuni  3905  dftr3  4038  tfis  4505  rninxp  4990  fnres  5247  eqfnfv3  5528  funimass3  5544  ffvresb  5591  tfrlemibxssdm  6232  tfr1onlembxssdm  6248  tfrcllembxssdm  6261  suplocsr  7641  isbasis2g  12251  tgval2  12259  eltg2b  12262  tgss2  12287  basgen2  12289  bastop1  12291  unicld  12324  neipsm  12362  ssidcn  12418  bdss  13233