Theorem eqsnm 3607

Description: Two ways to express that an inhabited set equals a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eqsnm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 = {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem eqsnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss3 3018	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝐵})
2		velsn 3469	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
3	2	ralbii 2385	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝐵)
4	1, 3	bitri 183	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝐵)
5		sssnm 3606	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 = {𝐵}))
6	4, 5	syl5rbbr 194	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 = {𝐵} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1290  ∃wex 1427   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360   ⊆ wss 3002  {csn 3452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-v 2624  df-in 3008  df-ss 3015  df-sn 3458

This theorem is referenced by:  nninfall  12203