Theorem ssprr 3719

Description: The subsets of a pair. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssprr	|- ( ( ( A = (/) \/ A = { B } ) \/ ( A = { C } \/ A = { B , C } ) ) -> A C_ { B , C } )

Proof of Theorem ssprr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3432	. . . 4 |- (/) C_ { B , C }
2		sseq1 3151	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( A C_ { B , C } <-> (/) C_ { B , C } ) )
3	1, 2	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = (/) -> A C_ { B , C } )
4		snsspr1 3704	. . . 4 |- { B } C_ { B , C }
5		sseq1 3151	. . . 4 |- ( A = { B } -> ( A C_ { B , C } <-> { B } C_ { B , C } ) )
6	4, 5	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = { B } -> A C_ { B , C } )
7	3, 6	jaoi 706	. 2 |- ( ( A = (/) \/ A = { B } ) -> A C_ { B , C } )
8		snsspr2 3705	. . . 4 |- { C } C_ { B , C }
9		sseq1 3151	. . . 4 |- ( A = { C } -> ( A C_ { B , C } <-> { C } C_ { B , C } ) )
10	8, 9	mpbiri 167	. . 3 |- ( A = { C } -> A C_ { B , C } )
11		eqimss 3182	. . 3 |- ( A = { B , C } -> A C_ { B , C } )
12	10, 11	jaoi 706	. 2 |- ( ( A = { C } \/ A = { B , C } ) -> A C_ { B , C } )
13	7, 12	jaoi 706	1 |- ( ( ( A = (/) \/ A = { B } ) \/ ( A = { C } \/ A = { B , C } ) ) -> A C_ { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 698   = wceq 1335   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   {cpr 3561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pr 3567

This theorem is referenced by:  sstpr  3720  pwprss  3768