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Theorem hbae 1729
Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
hbae  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )

Proof of Theorem hbae
StepHypRef Expression
1 ax12or 1519 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 ax10o 1726 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
32alequcoms 1527 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
4 ax10o 1726 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
)
54pm2.43i 49 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
6 ax10o 1726 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
75, 6syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
87alequcoms 1527 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
9 ax-4 1521 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
109imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
1110sps 1548 . . . . . 6  |-  ( A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
128, 11jaoi 717 . . . . 5  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  -> 
( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
133, 12jaoi 717 . . . 4  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
141, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
1514a5i 1554 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. x A. z  x  =  y )
16 ax-7 1459 . 2  |-  ( A. x A. z  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
1715, 16syl 14 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 709   A.wal 1362    = wceq 1364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545
This theorem depends on definitions:  df-bi 117
This theorem is referenced by:  nfae  1730  hbaes  1731  hbnae  1732  dral1  1741  dral2  1742  drex2  1743  drex1  1809  aev  1823  sbcomxyyz  1984  exists1  2134
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