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Theorem hbae 1653
Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
hbae  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )

Proof of Theorem hbae
StepHypRef Expression
1 ax12or 1448 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
2 ax10o 1650 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
32alequcoms 1454 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
4 ax10o 1650 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
)
54pm2.43i 48 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y  x  =  y )
6 ax10o 1650 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
75, 6syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
87alequcoms 1454 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
9 ax-4 1445 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
109imim1i 59 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
1110sps 1475 . . . . . 6  |-  ( A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
128, 11jaoi 671 . . . . 5  |-  ( ( A. z  z  =  y  \/  A. z
( x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )  -> 
( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
133, 12jaoi 671 . . . 4  |-  ( ( A. z  z  =  x  \/  ( A. z  z  =  y  \/  A. z ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )  ->  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y ) )
141, 13ax-mp 7 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
1514a5i 1480 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. x A. z  x  =  y )
16 ax-7 1382 . 2  |-  ( A. x A. z  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
1715, 16syl 14 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z A. x  x  =  y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 664   A.wal 1287    = wceq 1289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472
This theorem depends on definitions:  df-bi 115
This theorem is referenced by:  nfae  1654  hbaes  1655  hbnae  1656  dral1  1665  dral2  1666  drex2  1667  drex1  1726  aev  1740  sbcomxyyz  1894  exists1  2044
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