Theorem hbae 1718

Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hbae	|- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Proof of Theorem hbae

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax12or 1508	. . . 4 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		ax10o 1715	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
3	2	alequcoms 1516	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
4		ax10o 1715	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = y -> A. y x = y ) )
5	4	pm2.43i 49	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> A. y x = y )
6		ax10o 1715	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = z -> ( A. y x = y -> A. z x = y ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A. y y = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
8	7	alequcoms 1516	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
9		ax-4 1510	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> x = y )
10	9	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
11	10	sps 1537	. . . . . 6 |- ( A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
12	8, 11	jaoi 716	. . . . 5 |- ( ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
13	3, 12	jaoi 716	. . . 4 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
14	1, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. x x = y -> A. z x = y )
15	14	a5i 1543	. 2 |- ( A. x x = y -> A. x A. z x = y )
16		ax-7 1448	. 2 |- ( A. x A. z x = y -> A. z A. x x = y )
17	15, 16	syl 14	1 |- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 708   A.wal 1351   = wceq 1353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by:  nfae  1719  hbaes  1720  hbnae  1721  dral1  1730  dral2  1731  drex2  1732  drex1  1798  aev  1812  sbcomxyyz  1972  exists1  2122