Theorem hbae 1729

Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hbae	|- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Proof of Theorem hbae

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax12or 1519	. . . 4 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		ax10o 1726	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
3	2	alequcoms 1527	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
4		ax10o 1726	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = y -> A. y x = y ) )
5	4	pm2.43i 49	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> A. y x = y )
6		ax10o 1726	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = z -> ( A. y x = y -> A. z x = y ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A. y y = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
8	7	alequcoms 1527	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
9		ax-4 1521	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> x = y )
10	9	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
11	10	sps 1548	. . . . . 6 |- ( A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
12	8, 11	jaoi 717	. . . . 5 |- ( ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
13	3, 12	jaoi 717	. . . 4 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
14	1, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. x x = y -> A. z x = y )
15	14	a5i 1554	. 2 |- ( A. x x = y -> A. x A. z x = y )
16		ax-7 1459	. 2 |- ( A. x A. z x = y -> A. z A. x x = y )
17	15, 16	syl 14	1 |- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 709   A.wal 1362   = wceq 1364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by:  nfae  1730  hbaes  1731  hbnae  1732  dral1  1741  dral2  1742  drex2  1743  drex1  1809  aev  1823  sbcomxyyz  1984  exists1  2134