Theorem hbae 1764

Description: All variables are effectively bound in an identical variable specifier. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Revised by NM, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hbae	|- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Proof of Theorem hbae

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax12or 1554	. . . 4 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		ax10o 1761	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
3	2	alequcoms 1562	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
4		ax10o 1761	. . . . . . . . 9 |- ( A. x x = y -> ( A. x x = y -> A. y x = y ) )
5	4	pm2.43i 49	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> A. y x = y )
6		ax10o 1761	. . . . . . . 8 |- ( A. y y = z -> ( A. y x = y -> A. z x = y ) )
7	5, 6	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( A. y y = z -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
8	7	alequcoms 1562	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
9		ax-4 1556	. . . . . . . 8 |- ( A. x x = y -> x = y )
10	9	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
11	10	sps 1583	. . . . . 6 |- ( A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
12	8, 11	jaoi 721	. . . . 5 |- ( ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
13	3, 12	jaoi 721	. . . 4 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( A. x x = y -> A. z x = y ) )
14	1, 13	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. x x = y -> A. z x = y )
15	14	a5i 1589	. 2 |- ( A. x x = y -> A. x A. z x = y )
16		ax-7 1494	. 2 |- ( A. x A. z x = y -> A. z A. x x = y )
17	15, 16	syl 14	1 |- ( A. x x = y -> A. z A. x x = y )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 713   A.wal 1393   = wceq 1395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580

This theorem depends on definitions:  df-bi 117

This theorem is referenced by:  nfae  1765  hbaes  1766  hbnae  1767  dral1  1776  dral2  1777  drex2  1778  drex1  1844  aev  1858  sbcomxyyz  2023  exists1  2174