Theorem sbcomxyyz 1945

Description: Version of sbcom 1948 with distinct variable constraints between x and y, and y and z. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sbcomxyyz	|- ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem sbcomxyyz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bndl 1486	. 2 |- ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) )
2		ax-ial 1514	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> A. z A. z z = x )
3		drsb1 1771	. . . . 5 |- ( A. z z = x -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / x ] ph ) )
4	2, 3	sbbidh 1817	. . . 4 |- ( A. z z = x -> ( [ y / z ] [ y / z ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
5		drsb1 1771	. . . 4 |- ( A. z z = x -> ( [ y / z ] [ y / z ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
6	4, 5	bitr3d 189	. . 3 |- ( A. z z = x -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
7		sbequ12 1744	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( [ y / x ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
8	7	sps 1517	. . . . 5 |- ( A. z z = y -> ( [ y / x ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
9		hbae 1696	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> A. x A. z z = y )
10		sbequ12 1744	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ph <-> [ y / z ] ph ) )
11	10	sps 1517	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> ( ph <-> [ y / z ] ph ) )
12	9, 11	sbbidh 1817	. . . . 5 |- ( A. z z = y -> ( [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
13	8, 12	bitr3d 189	. . . 4 |- ( A. z z = y -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
14		df-nf 1437	. . . . . 6 |- ( F/ z x = y <-> A. z ( x = y -> A. z x = y ) )
15	14	albii 1446	. . . . 5 |- ( A. x F/ z x = y <-> A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) )
16		ax-ial 1514	. . . . . . 7 |- ( A. x F/ z x = y -> A. x A. x F/ z x = y )
17		nfs1v 1912	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [ y / x ] ph
18	17	nfsb 1919	. . . . . . . . 9 |- F/ x [ y / z ] [ y / x ] ph
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( A. x F/ z x = y -> F/ x [ y / z ] [ y / x ] ph )
20	19	nfrd 1500	. . . . . . 7 |- ( A. x F/ z x = y -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph -> A. x [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
21		nfr 1498	. . . . . . . . 9 |- ( F/ z x = y -> ( x = y -> A. z x = y ) )
22		nfnf1 1523	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z F/ z x = y
23		nfa1 1521	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z A. z x = y
24	22, 23	nfan 1544	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ( F/ z x = y /\ A. z x = y )
25	24	nfri 1499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F/ z x = y /\ A. z x = y ) -> A. z ( F/ z x = y /\ A. z x = y ) )
26		nfs1v 1912	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z [ y / z ] [ y / x ] ph
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F/ z x = y /\ A. z x = y ) -> F/ z [ y / z ] [ y / x ] ph )
28	27	nfrd 1500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F/ z x = y /\ A. z x = y ) -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph -> A. z [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
29		sbequ12 1744	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ph <-> [ y / x ] ph ) )
30	29, 7	sylan9bb 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = y /\ z = y ) -> ( ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
31	30	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( z = y -> ( ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) ) )
32	31	sps 1517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z x = y -> ( z = y -> ( ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) ) )
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F/ z x = y /\ A. z x = y ) -> ( z = y -> ( ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) ) )
34	25, 28, 33	sbiedh 1760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F/ z x = y /\ A. z x = y ) -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
35	34	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( F/ z x = y -> ( A. z x = y -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) ) )
36	21, 35	syld 45	. . . . . . . 8 |- ( F/ z x = y -> ( x = y -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) ) )
37	36	sps 1517	. . . . . . 7 |- ( A. x F/ z x = y -> ( x = y -> ( [ y / z ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) ) )
38	16, 20, 37	sbiedh 1760	. . . . . 6 |- ( A. x F/ z x = y -> ( [ y / x ] [ y / z ] ph <-> [ y / z ] [ y / x ] ph ) )
39	38	bicomd 140	. . . . 5 |- ( A. x F/ z x = y -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
40	15, 39	sylbir 134	. . . 4 |- ( A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
41	13, 40	jaoi 705	. . 3 |- ( ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
42	6, 41	jaoi 705	. 2 |- ( ( A. z z = x \/ ( A. z z = y \/ A. x A. z ( x = y -> A. z x = y ) ) ) -> ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph ) )
43	1, 42	ax-mp 5	1 |- ( [ y / z ] [ y / x ] ph <-> [ y / x ] [ y / z ] ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   A.wal 1329   F/wnf 1436   [wsb 1735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1437  df-sb 1736

This theorem is referenced by:  sbco3xzyz  1946