Theorem iinin2m 3950

Description: Indexed intersection of intersection. Compare to Theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinin2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iinin2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3513	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) ) )
2		elin 3316	. . . . 5 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3	2	ralbii 2481	. . . 4 |- ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4		vex 2738	. . . . . 6 |- y e. _V
5		eliin 3887	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
7	6	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) )
8	1, 3, 7	3bitr4g 223	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) ) )
9		eliin 3887	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) ) )
10	4, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) )
11		elin 3316	. . 3 |- ( y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) ) )
13	12	eqrdv 2173	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1490   e. wcel 2146   A.wral 2453   _Vcvv 2735   i^i cin 3126   |^|_ciin 3883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-v 2737  df-in 3133  df-iin 3885

This theorem is referenced by:  iinin1m  3951