Theorem iinin2m 3845

Description: Indexed intersection of intersection. Compare to Theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinin2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iinin2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3419	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) ) )
2		elin 3223	. . . . 5 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3	2	ralbii 2413	. . . 4 |- ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4		vex 2658	. . . . . 6 |- y e. _V
5		eliin 3782	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
7	6	anbi2i 450	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) )
8	1, 3, 7	3bitr4g 222	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) ) )
9		eliin 3782	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) ) )
10	4, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) )
11		elin 3223	. . 3 |- ( y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 222	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) ) )
13	12	eqrdv 2111	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1312   E.wex 1449   e. wcel 1461   A.wral 2388   _Vcvv 2655   i^i cin 3034   |^|_ciin 3778

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-v 2657  df-in 3041  df-iin 3780

This theorem is referenced by:  iinin1m  3846