Theorem iinin2m 3996

Description: Indexed intersection of intersection. Compare to Theorem "Distributive laws" in [Enderton] p. 30. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iinin2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iinin2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3553	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) ) )
2		elin 3356	. . . . 5 |- ( y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. C ) )
3	2	ralbii 2512	. . . 4 |- ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( y e. B /\ y e. C ) )
4		vex 2775	. . . . . 6 |- y e. _V
5		eliin 3932	. . . . . 6 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( y e. |^|_ x e. A C <-> A. x e. A y e. C )
7	6	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A y e. C ) )
8	1, 3, 7	3bitr4g 223	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B i^i C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) ) )
9		eliin 3932	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) ) )
10	4, 9	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> A. x e. A y e. ( B i^i C ) )
11		elin 3356	. . 3 |- ( y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ y e. |^|_ x e. A C ) )
12	8, 10, 11	3bitr4g 223	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B i^i C ) <-> y e. ( B i^i |^|_ x e. A C ) ) )
13	12	eqrdv 2203	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B i^i C ) = ( B i^i |^|_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   i^i cin 3165   |^|_ciin 3928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-in 3172  df-iin 3930

This theorem is referenced by:  iinin1m  3997