Theorem iindif2m 3981

Description: Indexed intersection of class difference. Compare to Theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iindif2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iindif2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3540	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) ) )
2		eldif 3163	. . . . . 6 |- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3	2	bicomi 132	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> y e. ( B \ C ) )
4	3	ralbii 2500	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
5		ralnex 2482	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. E. x e. A y e. C )
6		eliun 3917	. . . . . 6 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7	5, 6	xchbinxr 684	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. y e. U_ x e. A C )
8	7	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
9	1, 4, 8	3bitr3g 222	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) ) )
10		vex 2763	. . . 4 |- y e. _V
11		eliin 3918	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
13		eldif 3163	. . 3 |- ( y e. ( B \ U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
14	9, 12, 13	3bitr4g 223	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> y e. ( B \ U_ x e. A C ) ) )
15	14	eqrdv 2191	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   U_ciun 3913   |^|_ciin 3914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-iun 3915  df-iin 3916

This theorem is referenced by: (None)