Theorem iindif2m 3933

Description: Indexed intersection of class difference. Compare to Theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iindif2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iindif2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3501	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) ) )
2		eldif 3125	. . . . . 6 |- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3	2	bicomi 131	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> y e. ( B \ C ) )
4	3	ralbii 2472	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
5		ralnex 2454	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. E. x e. A y e. C )
6		eliun 3870	. . . . . 6 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7	5, 6	xchbinxr 673	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. y e. U_ x e. A C )
8	7	anbi2i 453	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
9	1, 4, 8	3bitr3g 221	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) ) )
10		vex 2729	. . . 4 |- y e. _V
11		eliin 3871	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
13		eldif 3125	. . 3 |- ( y e. ( B \ U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
14	9, 12, 13	3bitr4g 222	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> y e. ( B \ U_ x e. A C ) ) )
15	14	eqrdv 2163	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   U_ciun 3866   |^|_ciin 3867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-iun 3868  df-iin 3869

This theorem is referenced by: (None)