Theorem iindif2m 3940

Description: Indexed intersection of class difference. Compare to Theorem "De Morgan's laws" in [Enderton] p. 31. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iindif2m	|- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem iindif2m

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.28mv 3507	. . . 4 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) ) )
2		eldif 3130	. . . . . 6 |- ( y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. C ) )
3	2	bicomi 131	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> y e. ( B \ C ) )
4	3	ralbii 2476	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. B /\ -. y e. C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
5		ralnex 2458	. . . . . 6 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. E. x e. A y e. C )
6		eliun 3877	. . . . . 6 |- ( y e. U_ x e. A C <-> E. x e. A y e. C )
7	5, 6	xchbinxr 678	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. y e. C <-> -. y e. U_ x e. A C )
8	7	anbi2i 454	. . . 4 |- ( ( y e. B /\ A. x e. A -. y e. C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
9	1, 4, 8	3bitr3g 221	. . 3 |- ( E. x x e. A -> ( A. x e. A y e. ( B \ C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) ) )
10		vex 2733	. . . 4 |- y e. _V
11		eliin 3878	. . . 4 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . 3 |- ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> A. x e. A y e. ( B \ C ) )
13		eldif 3130	. . 3 |- ( y e. ( B \ U_ x e. A C ) <-> ( y e. B /\ -. y e. U_ x e. A C ) )
14	9, 12, 13	3bitr4g 222	. 2 |- ( E. x x e. A -> ( y e. |^|_ x e. A ( B \ C ) <-> y e. ( B \ U_ x e. A C ) ) )
15	14	eqrdv 2168	1 |- ( E. x x e. A -> |^|_ x e. A ( B \ C ) = ( B \ U_ x e. A C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   U_ciun 3873   |^|_ciin 3874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-iun 3875  df-iin 3876

This theorem is referenced by: (None)