Theorem elin 3259

Description: Expansion of membership in an intersection of two classes. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elin	|- ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) )

Proof of Theorem elin

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2697	. 2 |- ( A e. ( B i^i C ) -> A e. _V )
2		elex 2697	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. B /\ A e. C ) -> A e. _V )
4		eleq1 2202	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
5		eleq1 2202	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. C <-> A e. C ) )
6	4, 5	anbi12d 464	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x e. B /\ x e. C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) )
7		df-in 3077	. . 3 |- ( B i^i C ) = { x | ( x e. B /\ x e. C ) }
8	6, 7	elab2g 2831	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) )
9	1, 3, 8	pm5.21nii 693	1 |- ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   i^i cin 3070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-in 3077

This theorem is referenced by:  elini  3260  elind  3261  elinel1  3262  elinel2  3263  elin2  3264  elin3  3267  incom  3268  ineqri  3269  ineq1  3270  inass  3286  inss1  3296  ssin  3298  ssrin  3301  dfss4st  3309  inssdif  3312  difin  3313  unssin  3315  inssun  3316  invdif  3318  indif  3319  indi  3323  undi  3324  difundi  3328  difindiss  3330  indifdir  3332  difin2  3338  inrab2  3349  inelcm  3423  inssdif0im  3430  uniin  3756  intun  3802  intpr  3803  elrint  3811  iunin2  3876  iinin2m  3881  elriin  3883  disjnim  3920  disjiun  3924  brin  3980  trin  4036  inex1  4062  inuni  4080  bnd2  4097  ordpwsucss  4482  ordpwsucexmid  4485  peano5  4512  inopab  4671  inxp  4673  dmin  4747  opelres  4824  intasym  4923  asymref  4924  dminss  4953  imainss  4954  inimasn  4956  ssrnres  4981  cnvresima  5028  dfco2a  5039  funinsn  5172  imainlem  5204  imain  5205  2elresin  5234  nfvres  5454  respreima  5548  isoini  5719  offval  5989  tfrlem5  6211  mapval2  6572  ixpin  6617  ssenen  6745  fnfi  6825  peano5nnnn  7700  peano5nni  8723  ixxdisj  9686  icodisj  9775  fzdisj  9832  uzdisj  9873  nn0disj  9915  fzouzdisj  9957  isumss  11160  fsumsplit  11176  sumsplitdc  11201  fsum2dlemstep  11203  isbasis2g  12212  tgval2  12220  tgcl  12233  epttop  12259  ssntr  12291  ntreq0  12301  cnptopresti  12407  cnptoprest  12408  cnptoprest2  12409  lmss  12415  txcnp  12440  txcnmpt  12442  bldisj  12570  blininf  12593  blres  12603  metrest  12675  pilem1  12860  bdinex1  13097  bj-indind  13130