Theorem elin 3412

Description: Expansion of membership in an intersection of two classes. Theorem 12 of [Suppes] p. 25. (Contributed by NM, 29-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
elin	|- ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) )

Proof of Theorem elin

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 |- ( A e. ( B i^i C ) -> A e. _V )
2		elex 2833	. . 3 |- ( A e. C -> A e. _V )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. B /\ A e. C ) -> A e. _V )
4		eleq1 2301	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. B <-> A e. B ) )
5		eleq1 2301	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. C <-> A e. C ) )
6	4, 5	anbi12d 477	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x e. B /\ x e. C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) )
7		df-in 3226	. . 3 |- ( B i^i C ) = { x | ( x e. B /\ x e. C ) }
8	6, 7	elab2g 2973	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) )
9	1, 3, 8	pm5.21nii 716	1 |- ( A e. ( B i^i C ) <-> ( A e. B /\ A e. C ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  elini  3413  elind  3414  elinel1  3415  elinel2  3416  elin2  3417  elin3  3420  incom  3421  ineqri  3424  ineq1  3425  inass  3441  inss1  3451  ssin  3453  ssrin  3456  dfss4st  3464  inssdif  3467  difin  3468  unssin  3470  inssun  3471  invdif  3473  indif  3474  indi  3478  undi  3479  difundi  3483  difindiss  3485  indifdir  3487  difin2  3493  inrab2  3506  inelcm  3585  inssdif0imOLD  3593  uniin  3955  intun  4001  intpr  4002  elrint  4010  iunin2  4076  iinin2m  4081  elriin  4083  disjnim  4120  disjiun  4125  brin  4183  trin  4239  inex1  4267  inuni  4291  bnd2  4310  ordpwsucss  4714  ordpwsucexmid  4717  peano5  4745  inopab  4912  inxp  4914  dmin  4989  opelres  5068  intasym  5172  asymref  5173  dminss  5202  imainss  5203  inimasn  5205  ssrnres  5230  cnvresima  5277  dfco2a  5288  funinsn  5430  imainlem  5462  imain  5463  2elresin  5494  nfvres  5732  respreima  5836  isoini  6024  offval  6310  tfrlem5  6585  mapval2  6959  ixpin  7005  ssenen  7152  infidc  7248  fnfi  7250  elfpw  7262  peano5nnnn  8259  peano5nni  9307  ixxdisj  10305  icodisj  10394  fzdisj  10457  uzdisj  10500  nn0disj  10545  fzouzdisj  10589  sseqn  11279  hashfibclem  11282  isumss  12158  fsumsplit  12174  sumsplitdc  12199  fsum2dlemstep  12201  fprod2dlemstep  12389  bitsmod  12723  bitsinv1  12729  4sqlem12  13181  ballotfilem2  13228  ballotfilemth  13281  nninfdclemcl  13339  nninfdclemp1  13341  insubm  13792  isrhm  14465  subsubrng2  14523  subsubrg2  14554  2idlelb  14842  isassa  15002  aspid  15017  isbasis2g  15146  tgval2  15152  tgcl  15165  epttop  15191  ssntr  15223  ntreq0  15233  cnptopresti  15339  cnptoprest  15340  cnptoprest2  15341  lmss  15347  txcnp  15372  txcnmpt  15374  bldisj  15502  blininf  15525  blres  15535  metrest  15607  pilem1  15880  wlk1walkdom  16600  trlsegvdegfi  16708  bj-charfundcALT  16835  bj-charfunr  16836  bdinex1  16925  bj-indind  16958