Theorem intexr 4083

Description: If the intersection of a class exists, the class is nonempty. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
intexr	|- ( |^| A e. _V -> A =/= (/) )

Proof of Theorem intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4068	. . 3 |- -. _V e. _V
2		inteq 3782	. . . . 5 |- ( A = (/) -> |^| A = |^| (/) )
3		int0 3793	. . . . 5 |- |^| (/) = _V
4	2, 3	eqtrdi 2189	. . . 4 |- ( A = (/) -> |^| A = _V )
5	4	eleq1d 2209	. . 3 |- ( A = (/) -> ( |^| A e. _V <-> _V e. _V ) )
6	1, 5	mtbiri 665	. 2 |- ( A = (/) -> -. |^| A e. _V )
7	6	necon2ai 2363	1 |- ( |^| A e. _V -> A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   =/= wne 2309   _Vcvv 2689   (/)c0 3368   |^|cint 3779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-nul 3369  df-int 3780

This theorem is referenced by:  fival  6866