Theorem intexr 4129

Description: If the intersection of a class exists, the class is nonempty. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
intexr	|- ( |^| A e. _V -> A =/= (/) )

Proof of Theorem intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4114	. . 3 |- -. _V e. _V
2		inteq 3827	. . . . 5 |- ( A = (/) -> |^| A = |^| (/) )
3		int0 3838	. . . . 5 |- |^| (/) = _V
4	2, 3	eqtrdi 2215	. . . 4 |- ( A = (/) -> |^| A = _V )
5	4	eleq1d 2235	. . 3 |- ( A = (/) -> ( |^| A e. _V <-> _V e. _V ) )
6	1, 5	mtbiri 665	. 2 |- ( A = (/) -> -. |^| A e. _V )
7	6	necon2ai 2390	1 |- ( |^| A e. _V -> A =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   _Vcvv 2726   (/)c0 3409   |^|cint 3824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-nul 3410  df-int 3825

This theorem is referenced by:  fival  6935