Theorem fival 6998

Description: The set of all the finite intersections of the elements of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fival	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, V

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fival

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fi 6997	. 2 |- fi = ( z e. _V |-> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } )
2		pweq 3593	. . . . 5 |- ( z = A -> ~P z = ~P A )
3	2	ineq1d 3350	. . . 4 |- ( z = A -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
4	3	rexeqdv 2693	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x ) )
5	4	abbidv 2307	. 2 |- ( z = A -> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )
6		elex 2763	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = |^| x )
8		elinel1 3336	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
9	8	elpwid 3601	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
10		eqvisset 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = |^| x -> |^| x e. _V )
11		intexr 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| x e. _V -> x =/= (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = |^| x -> x =/= (/) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x =/= (/) )
14	13	neneqd 2381	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> -. x = (/) )
15		elinel2 3337	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x e. Fin )
17		fin0or 6913	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> ( x = (/) \/ E. z z e. x ) )
18	17	orcomd 730	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
20	14, 19	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> E. z z e. x )
21		intssuni2m 3883	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ E. z z e. x ) -> |^| x C_ U. A )
22	9, 20, 21	syl2an2r 595	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> |^| x C_ U. A )
23	7, 22	eqsstrd 3206	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y C_ U. A )
24		velpw 3597	. . . . . 6 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y e. ~P U. A )
26	25	rexlimiva 2602	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x -> y e. ~P U. A )
27	26	abssi 3245	. . 3 |- { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A
28		uniexg 4457	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
29	28	pwexd 4199	. . 3 |- ( A e. V -> ~P U. A e. _V )
30		ssexg 4157	. . 3 |- ( ( { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
31	27, 29, 30	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
32	1, 5, 6, 31	fvmptd3 5629	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2160   {cab 2175   =/= wne 2360   E.wrex 2469   _Vcvv 2752   i^i cin 3143   C_ wss 3144   (/)c0 3437   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   |^|cint 3859   ` cfv 5235   Fincfn 6765   ficfi 6996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6558  df-en 6766  df-fin 6768  df-fi 6997

This theorem is referenced by:  elfi  6999  fi0  7003