Theorem fival 7168

Description: The set of all the finite intersections of the elements of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fival	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, V

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fival

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fi 7167	. 2 |- fi = ( z e. _V |-> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } )
2		pweq 3655	. . . . 5 |- ( z = A -> ~P z = ~P A )
3	2	ineq1d 3407	. . . 4 |- ( z = A -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
4	3	rexeqdv 2737	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x ) )
5	4	abbidv 2349	. 2 |- ( z = A -> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )
6		elex 2814	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = |^| x )
8		elinel1 3393	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
9	8	elpwid 3663	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
10		eqvisset 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = |^| x -> |^| x e. _V )
11		intexr 4240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| x e. _V -> x =/= (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = |^| x -> x =/= (/) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x =/= (/) )
14	13	neneqd 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> -. x = (/) )
15		elinel2 3394	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x e. Fin )
17		fin0or 7074	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> ( x = (/) \/ E. z z e. x ) )
18	17	orcomd 736	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
20	14, 19	ecased 1385	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> E. z z e. x )
21		intssuni2m 3952	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ E. z z e. x ) -> |^| x C_ U. A )
22	9, 20, 21	syl2an2r 599	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> |^| x C_ U. A )
23	7, 22	eqsstrd 3263	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y C_ U. A )
24		velpw 3659	. . . . . 6 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y e. ~P U. A )
26	25	rexlimiva 2645	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x -> y e. ~P U. A )
27	26	abssi 3302	. . 3 |- { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A
28		uniexg 4536	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
29	28	pwexd 4271	. . 3 |- ( A e. V -> ~P U. A e. _V )
30		ssexg 4228	. . 3 |- ( ( { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
31	27, 29, 30	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
32	1, 5, 6, 31	fvmptd3 5740	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   =/= wne 2402   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   |^|cint 3928   ` cfv 5326   Fincfn 6908   ficfi 7166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911  df-fi 7167

This theorem is referenced by:  elfi  7169  fi0  7173