Theorem fival 7229

Description: The set of all the finite intersections of the elements of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fival	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, V

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fival

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fi 7228	. 2 |- fi = ( z e. _V |-> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } )
2		pweq 3659	. . . . 5 |- ( z = A -> ~P z = ~P A )
3	2	ineq1d 3409	. . . 4 |- ( z = A -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
4	3	rexeqdv 2738	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x ) )
5	4	abbidv 2350	. 2 |- ( z = A -> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )
6		elex 2815	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = |^| x )
8		elinel1 3395	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
9	8	elpwid 3667	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
10		eqvisset 2814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = |^| x -> |^| x e. _V )
11		intexr 4245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| x e. _V -> x =/= (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = |^| x -> x =/= (/) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x =/= (/) )
14	13	neneqd 2424	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> -. x = (/) )
15		elinel2 3396	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x e. Fin )
17		fin0or 7118	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> ( x = (/) \/ E. z z e. x ) )
18	17	orcomd 737	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
20	14, 19	ecased 1386	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> E. z z e. x )
21		intssuni2m 3957	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ E. z z e. x ) -> |^| x C_ U. A )
22	9, 20, 21	syl2an2r 599	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> |^| x C_ U. A )
23	7, 22	eqsstrd 3264	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y C_ U. A )
24		velpw 3663	. . . . . 6 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y e. ~P U. A )
26	25	rexlimiva 2646	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x -> y e. ~P U. A )
27	26	abssi 3303	. . 3 |- { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A
28		uniexg 4542	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
29	28	pwexd 4277	. . 3 |- ( A e. V -> ~P U. A e. _V )
30		ssexg 4233	. . 3 |- ( ( { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
31	27, 29, 30	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
32	1, 5, 6, 31	fvmptd3 5749	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   =/= wne 2403   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   ~Pcpw 3656   U.cuni 3898   |^|cint 3933   ` cfv 5333   Fincfn 6952   ficfi 7227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-fi 7228

This theorem is referenced by:  elfi  7230  fi0  7234