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Theorem fival 6916
Description: The set of all the finite intersections of the elements of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fival  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, V
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fival
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fi 6915 . 2  |-  fi  =  ( z  e.  _V  |->  { y  |  E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
2 pweq 3547 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ~P z  =  ~P A
)
32ineq1d 3308 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
43rexeqdv 2659 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin )
y  =  |^| x  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
y  =  |^| x
) )
54abbidv 2275 . 2  |-  ( z  =  A  ->  { y  |  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) y  = 
|^| x }  =  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
6 elex 2723 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
7 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  y  =  |^| x )
8 elinel1 3294 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
98elpwid 3555 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
10 eqvisset 2722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  |^| x  ->  |^| x  e.  _V )
11 intexr 4113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| x  e.  _V  ->  x  =/=  (/) )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  |^| x  ->  x  =/=  (/) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
1413neneqd 2348 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  -.  x  =  (/) )
15 elinel2 3295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
17 fin0or 6833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  =  (/)  \/  E. z  z  e.  x
) )
1817orcomd 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( E. z  z  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
1916, 18syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  ( E. z  z  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
2014, 19ecased 1331 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  E. z 
z  e.  x )
21 intssuni2m 3833 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  E. z  z  e.  x
)  ->  |^| x  C_  U. A )
229, 20, 21syl2an2r 585 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  |^| x  C_ 
U. A )
237, 22eqsstrd 3164 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  y  C_ 
U. A )
24 velpw 3551 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P U. A  <->  y 
C_  U. A )
2523, 24sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  y  e.  ~P U. A )
2625rexlimiva 2569 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
y  =  |^| x  ->  y  e.  ~P U. A )
2726abssi 3203 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  C_  ~P U. A
28 uniexg 4401 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2928pwexd 4144 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P U. A  e.  _V )
30 ssexg 4105 . . 3  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  C_ 
~P U. A  /\  ~P U. A  e.  _V )  ->  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  e.  _V )
3127, 29, 30sylancr 411 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  e.  _V )
321, 5, 6, 31fvmptd3 5563 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   {cab 2143    =/= wne 2327   E.wrex 2436   _Vcvv 2712    i^i cin 3101    C_ wss 3102   (/)c0 3395   ~Pcpw 3544   U.cuni 3774   |^|cint 3809   ` cfv 5172   Fincfn 6687   ficfi 6914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-er 6482  df-en 6688  df-fin 6690  df-fi 6915
This theorem is referenced by:  elfi  6917  fi0  6921
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