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Theorem fival 6947
Description: The set of all the finite intersections of the elements of  A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fival  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, V
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fival
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fi 6946 . 2  |-  fi  =  ( z  e.  _V  |->  { y  |  E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
2 pweq 3569 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  ~P z  =  ~P A
)
32ineq1d 3327 . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  ( ~P z  i^i  Fin )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
43rexeqdv 2672 . . 3  |-  ( z  =  A  ->  ( E. x  e.  ( ~P z  i^i  Fin )
y  =  |^| x  <->  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
y  =  |^| x
) )
54abbidv 2288 . 2  |-  ( z  =  A  ->  { y  |  E. x  e.  ( ~P z  i^i 
Fin ) y  = 
|^| x }  =  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
6 elex 2741 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
7 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  y  =  |^| x )
8 elinel1 3313 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  ~P A )
98elpwid 3577 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  C_  A )
10 eqvisset 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  |^| x  ->  |^| x  e.  _V )
11 intexr 4136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( |^| x  e.  _V  ->  x  =/=  (/) )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  |^| x  ->  x  =/=  (/) )
1312adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  x  =/=  (/) )
1413neneqd 2361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  -.  x  =  (/) )
15 elinel2 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  x  e.  Fin )
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  x  e.  Fin )
17 fin0or 6864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  =  (/)  \/  E. z  z  e.  x
) )
1817orcomd 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( E. z  z  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
1916, 18syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  ( E. z  z  e.  x  \/  x  =  (/) ) )
2014, 19ecased 1344 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  E. z 
z  e.  x )
21 intssuni2m 3855 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  A  /\  E. z  z  e.  x
)  ->  |^| x  C_  U. A )
229, 20, 21syl2an2r 590 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  |^| x  C_ 
U. A )
237, 22eqsstrd 3183 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  y  C_ 
U. A )
24 velpw 3573 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P U. A  <->  y 
C_  U. A )
2523, 24sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  y  =  |^| x )  ->  y  e.  ~P U. A )
2625rexlimiva 2582 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
y  =  |^| x  ->  y  e.  ~P U. A )
2726abssi 3222 . . 3  |-  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  C_  ~P U. A
28 uniexg 4424 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
2928pwexd 4167 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ~P U. A  e.  _V )
30 ssexg 4128 . . 3  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  C_ 
~P U. A  /\  ~P U. A  e.  _V )  ->  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  e.  _V )
3127, 29, 30sylancr 412 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }  e.  _V )
321, 5, 6, 31fvmptd3 5589 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( fi `  A )  =  { y  |  E. x  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) y  =  |^| x }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   {cab 2156    =/= wne 2340   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796   |^|cint 3831   ` cfv 5198   Fincfn 6718   ficfi 6945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-fi 6946
This theorem is referenced by:  elfi  6948  fi0  6952
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