Theorem fival 7036

Description: The set of all the finite intersections of the elements of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fival	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, V

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fival

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fi 7035	. 2 |- fi = ( z e. _V |-> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } )
2		pweq 3608	. . . . 5 |- ( z = A -> ~P z = ~P A )
3	2	ineq1d 3363	. . . 4 |- ( z = A -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
4	3	rexeqdv 2700	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x ) )
5	4	abbidv 2314	. 2 |- ( z = A -> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )
6		elex 2774	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = |^| x )
8		elinel1 3349	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
9	8	elpwid 3616	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
10		eqvisset 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = |^| x -> |^| x e. _V )
11		intexr 4183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| x e. _V -> x =/= (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = |^| x -> x =/= (/) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x =/= (/) )
14	13	neneqd 2388	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> -. x = (/) )
15		elinel2 3350	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x e. Fin )
17		fin0or 6947	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> ( x = (/) \/ E. z z e. x ) )
18	17	orcomd 730	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
20	14, 19	ecased 1360	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> E. z z e. x )
21		intssuni2m 3898	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ E. z z e. x ) -> |^| x C_ U. A )
22	9, 20, 21	syl2an2r 595	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> |^| x C_ U. A )
23	7, 22	eqsstrd 3219	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y C_ U. A )
24		velpw 3612	. . . . . 6 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y e. ~P U. A )
26	25	rexlimiva 2609	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x -> y e. ~P U. A )
27	26	abssi 3258	. . 3 |- { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A
28		uniexg 4474	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
29	28	pwexd 4214	. . 3 |- ( A e. V -> ~P U. A e. _V )
30		ssexg 4172	. . 3 |- ( ( { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
31	27, 29, 30	sylancr 414	. 2 |- ( A e. V -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
32	1, 5, 6, 31	fvmptd3 5655	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   =/= wne 2367   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ~Pcpw 3605   U.cuni 3839   |^|cint 3874   ` cfv 5258   Fincfn 6799   ficfi 7034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-fi 7035

This theorem is referenced by:  elfi  7037  fi0  7041