Theorem fival 7309

Description: The set of all the finite intersections of the elements of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fival	|- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, V

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem fival

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fi 7308	. 2 |- fi = ( z e. _V |-> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } )
2		pweq 3691	. . . . 5 |- ( z = A -> ~P z = ~P A )
3	2	ineq1d 3431	. . . 4 |- ( z = A -> ( ~P z i^i Fin ) = ( ~P A i^i Fin ) )
4	3	rexeqdv 2756	. . 3 |- ( z = A -> ( E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x <-> E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x ) )
5	4	abbidv 2358	. 2 |- ( z = A -> { y | E. x e. ( ~P z i^i Fin ) y = |^| x } = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )
6		elex 2833	. 2 |- ( A e. V -> A e. _V )
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y = |^| x )
8		elinel1 3415	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. ~P A )
9	8	elpwid 3700	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
10		eqvisset 2832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = |^| x -> |^| x e. _V )
11		intexr 4288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| x e. _V -> x =/= (/) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = |^| x -> x =/= (/) )
13	12	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x =/= (/) )
14	13	neneqd 2441	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> -. x = (/) )
15		elinel2 3416	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> x e. Fin )
17		fin0or 7194	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin -> ( x = (/) \/ E. z z e. x ) )
18	17	orcomd 741	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. Fin -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> ( E. z z e. x \/ x = (/) ) )
20	14, 19	ecased 1390	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> E. z z e. x )
21		intssuni2m 3994	. . . . . . . 8 |- ( ( x C_ A /\ E. z z e. x ) -> |^| x C_ U. A )
22	9, 20, 21	syl2an2r 603	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> |^| x C_ U. A )
23	7, 22	eqsstrd 3284	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y C_ U. A )
24		velpw 3695	. . . . . 6 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
25	23, 24	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ y = |^| x ) -> y e. ~P U. A )
26	25	rexlimiva 2663	. . . 4 |- ( E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x -> y e. ~P U. A )
27	26	abssi 3323	. . 3 |- { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A
28		uniexg 4587	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
29	28	pwexd 4320	. . 3 |- ( A e. V -> ~P U. A e. _V )
30		ssexg 4274	. . 3 |- ( ( { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
31	27, 29, 30	sylancr 418	. 2 |- ( A e. V -> { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } e. _V )
32	1, 5, 6, 31	fvmptd3 5802	1 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = { y | E. x e. ( ~P A i^i Fin ) y = |^| x } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   =/= wne 2420   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   U.cuni 3935   |^|cint 3970   ` cfv 5380   Fincfn 7026   ficfi 7307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-fi 7308

This theorem is used by:  elfi  7310  fi0  7314