Theorem intexr 4179

Description: If the intersection of a class exists, the class is nonempty. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
intexr	⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4161	. . 3 ⊢ ¬ V ∈ V
2		inteq 3873	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
3		int0 3884	. . . . 5 ⊢ ∩ ∅ = V
4	2, 3	eqtrdi 2242	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
5	4	eleq1d 2262	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
6	1, 5	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
7	6	necon2ai 2418	1 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  Vcvv 2760  ∅c0 3446  ∩ cint 3870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-nul 3447  df-int 3871

This theorem is referenced by:  fival  7029