Theorem intexr 4183

Description: If the intersection of a class exists, the class is nonempty. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
intexr	⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Proof of Theorem intexr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vprc 4165	. . 3 ⊢ ¬ V ∈ V
2		inteq 3877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = ∩ ∅)
3		int0 3888	. . . . 5 ⊢ ∩ ∅ = V
4	2, 3	eqtrdi 2245	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∩ 𝐴 = V)
5	4	eleq1d 2265	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∩ 𝐴 ∈ V ↔ V ∈ V))
6	1, 5	mtbiri 676	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ¬ ∩ 𝐴 ∈ V)
7	6	necon2ai 2421	1 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ V → 𝐴 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763  ∅c0 3450  ∩ cint 3874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-nul 3451  df-int 3875

This theorem is referenced by:  fival  7036