Theorem iunopn 12794

Description: The indexed union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunopn	|- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Distinct variable groups:   x, A   x, J

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iunopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3905	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		uniiunlem 3236	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. J -> ( A. x e. A B e. J <-> { y | E. x e. A y = B } C_ J ) )
4	3	ibi 175	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> { y | E. x e. A y = B } C_ J )
5		uniopn 12793	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ { y | E. x e. A y = B } C_ J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
6	4, 5	sylan2 284	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2247	1 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   U.cuni 3796   U_ciun 3873   Topctop 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-sep 4107

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-uni 3797  df-iun 3875  df-top 12790

This theorem is referenced by:  tgcn  13002