Theorem iunopn 13979

Description: The indexed union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunopn	|- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Distinct variable groups:   x, A   x, J

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iunopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3933	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		uniiunlem 3259	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. J -> ( A. x e. A B e. J <-> { y | E. x e. A y = B } C_ J ) )
4	3	ibi 176	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> { y | E. x e. A y = B } C_ J )
5		uniopn 13978	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ { y | E. x e. A y = B } C_ J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
6	4, 5	sylan2 286	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2266	1 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   U.cuni 3824   U_ciun 3901   Topctop 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-sep 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-uni 3825  df-iun 3903  df-top 13975

This theorem is referenced by:  tgcn  14185