Theorem iunopn 13051

Description: The indexed union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunopn	|- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Distinct variable groups:   x, A   x, J

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iunopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3914	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		uniiunlem 3242	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. J -> ( A. x e. A B e. J <-> { y | E. x e. A y = B } C_ J ) )
4	3	ibi 176	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> { y | E. x e. A y = B } C_ J )
5		uniopn 13050	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ { y | E. x e. A y = B } C_ J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
6	4, 5	sylan2 286	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2252	1 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2146   {cab 2161   A.wral 2453   E.wrex 2454   C_ wss 3127   U.cuni 3805   U_ciun 3882   Topctop 13046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157  ax-sep 4116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-uni 3806  df-iun 3884  df-top 13047

This theorem is referenced by:  tgcn  13259