Theorem iunopn 12640

Description: The indexed union of a subset of a topology is an open set. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunopn	|- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Distinct variable groups:   x, A   x, J

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem iunopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 3898	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )
3		uniiunlem 3231	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. J -> ( A. x e. A B e. J <-> { y | E. x e. A y = B } C_ J ) )
4	3	ibi 175	. . 3 |- ( A. x e. A B e. J -> { y | E. x e. A y = B } C_ J )
5		uniopn 12639	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ { y | E. x e. A y = B } C_ J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
6	4, 5	sylan2 284	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U. { y | E. x e. A y = B } e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2243	1 |- ( ( J e. Top /\ A. x e. A B e. J ) -> U_ x e. A B e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   U.cuni 3789   U_ciun 3866   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-sep 4100

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-uni 3790  df-iun 3868  df-top 12636

This theorem is referenced by:  tgcn  12848