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Theorem dfiun2g 3916
Description: Alternate definition of indexed union when  B is a set. Definition 15(a) of [Suppes] p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfiun2g  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiun2g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 2508 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  C
2 rsp 2524 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  C ) )
3 clel3g 2871 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  C  ->  (
z  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
42, 3syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) ) )
54imp 124 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  e.  B  <->  E. y ( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
61, 5rexbida 2472 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. x  e.  A  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
7 rexcom4 2760 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y ) )
86, 7bitrdi 196 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
9 r19.41v 2633 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  ( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y )
)
109exbii 1605 . . . . 5  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y
( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y ) )
11 exancom 1608 . . . . 5  |-  ( E. y ( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
1210, 11bitri 184 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
138, 12bitrdi 196 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. y
( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) ) )
14 eliun 3888 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
15 eluniab 3819 . . 3  |-  ( z  e.  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. y ( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
1613, 14, 153bitr4g 223 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
1716eqrdv 2175 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   U.cuni 3807   U_ciun 3884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-uni 3808  df-iun 3886
This theorem is referenced by:  dfiun2  3918  abnexg  4443  dfiun3g  4880  fniunfv  5757  iunexg  6114  uniqs  6587  iunopn  13160
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