Theorem dfiun2g 3905

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. Definition 15(a) of [Suppes] p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfiun2g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiun2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2501	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. A B e. C
2		rsp 2517	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A B e. C -> ( x e. A -> B e. C ) )
3		clel3g 2864	. . . . . . . 8 |- ( B e. C -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
4	2, 3	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. C -> ( x e. A -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) ) )
5	4	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A B e. C /\ x e. A ) -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
6	1, 5	rexbida 2465	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
7		rexcom4 2753	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) )
8	6, 7	bitrdi 195	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) ) )
9		r19.41v 2626	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
10	9	exbii 1598	. . . . 5 |- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
11		exancom 1601	. . . . 5 |- ( E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
12	10, 11	bitri 183	. . . 4 |- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
13	8, 12	bitrdi 195	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) ) )
14		eliun 3877	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
15		eluniab 3808	. . 3 |- ( z e. U. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
16	13, 14, 15	3bitr4g 222	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> ( z e. U_ x e. A B <-> z e. U. { y | E. x e. A y = B } ) )
17	16	eqrdv 2168	1 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   U.cuni 3796   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-uni 3797  df-iun 3875

This theorem is referenced by:  dfiun2  3907  abnexg  4431  dfiun3g  4868  fniunfv  5741  iunexg  6098  uniqs  6571  iunopn  12794