Theorem dfiun2g 4002

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. Definition 15(a) of [Suppes] p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfiun2g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiun2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2563	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. A B e. C
2		rsp 2579	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A B e. C -> ( x e. A -> B e. C ) )
3		clel3g 2940	. . . . . . . 8 |- ( B e. C -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
4	2, 3	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. C -> ( x e. A -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) ) )
5	4	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A B e. C /\ x e. A ) -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
6	1, 5	rexbida 2527	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
7		rexcom4 2826	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) )
8	6, 7	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) ) )
9		r19.41v 2689	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
10	9	exbii 1653	. . . . 5 |- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
11		exancom 1656	. . . . 5 |- ( E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
13	8, 12	bitrdi 196	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) ) )
14		eliun 3974	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
15		eluniab 3905	. . 3 |- ( z e. U. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
16	13, 14, 15	3bitr4g 223	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> ( z e. U_ x e. A B <-> z e. U. { y | E. x e. A y = B } ) )
17	16	eqrdv 2229	1 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   E.wrex 2511   U.cuni 3893   U_ciun 3970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-uni 3894  df-iun 3972

This theorem is referenced by:  dfiun2  4004  abnexg  4543  dfiun3g  4989  fniunfv  5902  iunexg  6280  uniqs  6761  ptex  13346  iunopn  14725