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Theorem dfiun2g 3813
Description: Alternate definition of indexed union when  B is a set. Definition 15(a) of [Suppes] p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfiun2g  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x, y)

Proof of Theorem dfiun2g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfra1 2441 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  C
2 rsp 2455 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( x  e.  A  ->  B  e.  C ) )
3 clel3g 2791 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  C  ->  (
z  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
42, 3syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( x  e.  A  ->  (
z  e.  B  <->  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) ) )
54imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  B  e.  C  /\  x  e.  A )  ->  ( z  e.  B  <->  E. y ( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
61, 5rexbida 2407 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. x  e.  A  E. y
( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
7 rexcom4 2681 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y ) )
86, 7syl6bb 195 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y ) ) )
9 r19.41v 2562 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  ( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y )
)
109exbii 1567 . . . . 5  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y
( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y ) )
11 exancom 1570 . . . . 5  |-  ( E. y ( E. x  e.  A  y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y ( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
1210, 11bitri 183 . . . 4  |-  ( E. y E. x  e.  A  ( y  =  B  /\  z  e.  y )  <->  E. y
( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
138, 12syl6bb 195 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. y
( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) ) )
14 eliun 3785 . . 3  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
15 eluniab 3716 . . 3  |-  ( z  e.  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  <->  E. y ( z  e.  y  /\  E. x  e.  A  y  =  B ) )
1613, 14, 153bitr4g 222 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
1716eqrdv 2113 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  C  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   {cab 2101   A.wral 2391   E.wrex 2392   U.cuni 3704   U_ciun 3781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-uni 3705  df-iun 3783
This theorem is referenced by:  dfiun2  3815  abnexg  4335  dfiun3g  4764  fniunfv  5629  iunexg  5983  uniqs  6453  iunopn  12064
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