Theorem dfiun2g 3948

Description: Alternate definition of indexed union when B is a set. Definition 15(a) of [Suppes] p. 44. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfiun2g	|- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   x, y

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( x, y)

Proof of Theorem dfiun2g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfra1 2528	. . . . . 6 |- F/ x A. x e. A B e. C
2		rsp 2544	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A B e. C -> ( x e. A -> B e. C ) )
3		clel3g 2898	. . . . . . . 8 |- ( B e. C -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
4	2, 3	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A B e. C -> ( x e. A -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) ) )
5	4	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A B e. C /\ x e. A ) -> ( z e. B <-> E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
6	1, 5	rexbida 2492	. . . . 5 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) ) )
7		rexcom4 2786	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. y ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) )
8	6, 7	bitrdi 196	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) ) )
9		r19.41v 2653	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
10	9	exbii 1619	. . . . 5 |- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) )
11		exancom 1622	. . . . 5 |- ( E. y ( E. x e. A y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
12	10, 11	bitri 184	. . . 4 |- ( E. y E. x e. A ( y = B /\ z e. y ) <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
13	8, 12	bitrdi 196	. . 3 |- ( A. x e. A B e. C -> ( E. x e. A z e. B <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) ) )
14		eliun 3920	. . 3 |- ( z e. U_ x e. A B <-> E. x e. A z e. B )
15		eluniab 3851	. . 3 |- ( z e. U. { y | E. x e. A y = B } <-> E. y ( z e. y /\ E. x e. A y = B ) )
16	13, 14, 15	3bitr4g 223	. 2 |- ( A. x e. A B e. C -> ( z e. U_ x e. A B <-> z e. U. { y | E. x e. A y = B } ) )
17	16	eqrdv 2194	1 |- ( A. x e. A B e. C -> U_ x e. A B = U. { y | E. x e. A y = B } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   U.cuni 3839   U_ciun 3916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-uni 3840  df-iun 3918

This theorem is referenced by:  dfiun2  3950  abnexg  4481  dfiun3g  4923  fniunfv  5809  iunexg  6176  uniqs  6652  ptex  12935  iunopn  14238