Theorem uniopn 12207

Description: The union of a subset of a topology (that is, the union of any family of open sets of a topology) is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Proof of Theorem uniopn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 12205	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 175	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3	2	simpld 111	. . 3 |- ( J e. Top -> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) )
4		elpw2g 4089	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( A e. ~P J <-> A C_ J ) )
5	4	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> A e. ~P J )
6		sseq1 3125	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x C_ J <-> A C_ J ) )
7		unieq 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. x = U. A )
8	7	eleq1d 2209	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( U. x e. J <-> U. A e. J ) )
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x C_ J -> U. x e. J ) <-> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
10	9	spcgv 2776	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
12	11	com23 78	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
13	12	ex 114	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) ) )
14	13	pm2.43d 50	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
15	3, 14	mpid 42	. 2 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> U. A e. J ) )
16	15	imp 123	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   i^i cin 3075   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744   Topctop 12203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-uni 3745  df-top 12204

This theorem is referenced by:  iunopn  12208  unopn  12211  0opn  12212  topopn  12214  tgtop  12276  ntropn  12325  neipsm  12362  unimopn  12694  metrest  12714  cnopncntop  12745