Theorem uniopn 12359

Description: The union of a subset of a topology (that is, the union of any family of open sets of a topology) is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Proof of Theorem uniopn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 12357	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 175	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3	2	simpld 111	. . 3 |- ( J e. Top -> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) )
4		elpw2g 4117	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( A e. ~P J <-> A C_ J ) )
5	4	biimpar 295	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> A e. ~P J )
6		sseq1 3151	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x C_ J <-> A C_ J ) )
7		unieq 3781	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. x = U. A )
8	7	eleq1d 2226	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( U. x e. J <-> U. A e. J ) )
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x C_ J -> U. x e. J ) <-> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
10	9	spcgv 2799	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
12	11	com23 78	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
13	12	ex 114	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) ) )
14	13	pm2.43d 50	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
15	3, 14	mpid 42	. 2 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> U. A e. J ) )
16	15	imp 123	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1333   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   i^i cin 3101   C_ wss 3102   ~Pcpw 3543   U.cuni 3772   Topctop 12355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-sep 4082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-uni 3773  df-top 12356

This theorem is referenced by:  iunopn  12360  unopn  12363  0opn  12364  topopn  12366  tgtop  12428  ntropn  12477  neipsm  12514  unimopn  12846  metrest  12866  cnopncntop  12897