Theorem uniopn 14321

Description: The union of a subset of a topology (that is, the union of any family of open sets of a topology) is an open set. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniopn	|- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Proof of Theorem uniopn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 14319	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 176	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3	2	simpld 112	. . 3 |- ( J e. Top -> A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) )
4		elpw2g 4190	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> ( A e. ~P J <-> A C_ J ) )
5	4	biimpar 297	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> A e. ~P J )
6		sseq1 3207	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( x C_ J <-> A C_ J ) )
7		unieq 3849	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. x = U. A )
8	7	eleq1d 2265	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( U. x e. J <-> U. A e. J ) )
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( x C_ J -> U. x e. J ) <-> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
10	9	spcgv 2851	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
11	5, 10	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> ( A C_ J -> U. A e. J ) ) )
12	11	com23 78	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
13	12	ex 115	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) ) )
14	13	pm2.43d 50	. . 3 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) -> U. A e. J ) ) )
15	3, 14	mpid 42	. 2 |- ( J e. Top -> ( A C_ J -> U. A e. J ) )
16	15	imp 124	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ J ) -> U. A e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   i^i cin 3156   C_ wss 3157   ~Pcpw 3606   U.cuni 3840   Topctop 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-uni 3841  df-top 14318

This theorem is referenced by:  iunopn  14322  unopn  14325  0opn  14326  topopn  14328  tgtop  14388  ntropn  14437  neipsm  14474  unimopn  14806  metrest  14826  cnopncntop  14864  cnopn  14865