Theorem inopn 13542

Description: The intersection of two open sets of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
inopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A i^i B ) e. J )

Proof of Theorem inopn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		istopg 13538	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( J e. Top <-> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) ) )
2	1	ibi 176	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x ( x C_ J -> U. x e. J ) /\ A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J ) )
3	2	simprd 114	. . 3 |- ( J e. Top -> A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J )
4		ineq1 3331	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x i^i y ) = ( A i^i y ) )
5	4	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x i^i y ) e. J <-> ( A i^i y ) e. J ) )
6		ineq2 3332	. . . . 5 |- ( y = B -> ( A i^i y ) = ( A i^i B ) )
7	6	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( A i^i y ) e. J <-> ( A i^i B ) e. J ) )
8	5, 7	rspc2v 2856	. . 3 |- ( ( A e. J /\ B e. J ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( x i^i y ) e. J -> ( A i^i B ) e. J ) )
9	3, 8	syl5com 29	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( A e. J /\ B e. J ) -> ( A i^i B ) e. J ) )
10	9	3impib 1201	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. J /\ B e. J ) -> ( A i^i B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3130   C_ wss 3131   U.cuni 3811   Topctop 13536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-top 13537

This theorem is referenced by:  tgclb  13604  topbas  13606  difopn  13647  uncld  13652  ntrin  13663  innei  13702  restopnb  13720  cnptoprest  13778  txcnp  13810  txcnmpt  13812  mopnin  14026