Theorem tgcn 15073

Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		iscn 15062	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
6		topontop 14879	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
8	5, 7	eqeltrrd 2310	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
9		tgclb 14930	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
11		bastg 14926	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	12, 5	sseqtrrd 3277	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
14		ssralv 3302	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
16	5	eleq2d 2302	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. K <-> x e. ( topGen ` B ) ) )
17		eltg3 14922	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. TopBases -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
18	10, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
19	16, 18	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. K <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
20		ssralv 3302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
21		topontop 14879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
23		iunopn 14867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
26	20, 25	sylan9r 410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
27		imaeq2 5097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = ( `' F " U. z ) )
28		imauni 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F " U. z ) = U_ y e. z ( `' F " y )
29	27, 28	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = U_ y e. z ( `' F " y ) )
30	29	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. z -> ( ( `' F " x ) e. J <-> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. z -> ( ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) <-> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) )
32	26, 31	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( x = U. z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
33	32	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
34	33	exlimdv 1868	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
35	19, 34	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. K -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) )
37	36	ralrimdva 2622	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
38		imaeq2 5097	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( `' F " x ) = ( `' F " y ) )
39	38	eleq1d 2301	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
40	39	cbvralv 2778	. . . . 5 |- ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
41	37, 40	imbitrdi 161	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
42	15, 41	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
43	42	anbi2d 464	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
44	4, 43	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   C_ wss 3211   U.cuni 3914   U_ciun 3991   `'ccnv 4748   "cima 4752   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   topGenctg 13467   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   TopBasesctb 14907   Cn ccn 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-cn 15053

This theorem is referenced by:  txcnmpt  15138