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Theorem tgcn 12219
Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgcn.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
tgcn.3  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
tgcn.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
tgcn  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Distinct variable groups:    y, B    y, F    y, J    y, K    y, X    y, Y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem tgcn
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 tgcn.4 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 iscn 12208 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
41, 2, 3syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
5 tgcn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( topGen `  B ) )
6 topontop 12024 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
72, 6syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
85, 7eqeltrrd 2192 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( topGen `  B )  e.  Top )
9 tgclb 12077 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  TopBases 
<->  ( topGen `  B )  e.  Top )
108, 9sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  TopBases )
11 bastg 12073 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  TopBases  ->  B  C_  ( topGen `
 B ) )
1210, 11syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  C_  ( topGen `  B ) )
1312, 5sseqtr4d 3102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  K )
14 ssralv 3127 . . . . 5  |-  ( B 
C_  K  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
1513, 14syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
165eleq2d 2184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  x  e.  ( topGen `  B
) ) )
17 eltg3 12069 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  TopBases  ->  ( x  e.  ( topGen `  B )  <->  E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
1810, 17syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  (
topGen `  B )  <->  E. z
( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
1916, 18bitrd 187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  <->  E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z ) ) )
20 ssralv 3127 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  B  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
21 topontop 12024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
221, 21syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
23 iunopn 12012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J )  ->  U_ y  e.  z 
( `' F "
y )  e.  J
)
2423ex 114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  z 
( `' F "
y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
) )
2522, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F "
y )  e.  J
) )
2620, 25sylan9r 405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
27 imaeq2 4835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  U. z  -> 
( `' F "
x )  =  ( `' F " U. z
) )
28 imauni 5616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " U. z
)  =  U_ y  e.  z  ( `' F " y )
2927, 28syl6eq 2163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  U. z  -> 
( `' F "
x )  =  U_ y  e.  z  ( `' F " y ) )
3029eleq1d 2183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. z  -> 
( ( `' F " x )  e.  J  <->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) )
3130imbi2d 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. z  -> 
( ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J )  <->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  U_ y  e.  z  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
3226, 31syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  C_  B )  ->  (
x  =  U. z  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
3332expimpd 358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( z  C_  B  /\  x  =  U. z )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
3433exlimdv 1773 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. z ( z  C_  B  /\  x  =  U. z
)  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
3519, 34sylbid 149 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  K  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F "
x )  e.  J
) ) )
3635imp 123 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  K )  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  ( `' F " x )  e.  J ) )
3736ralrimdva 2486 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
38 imaeq2 4835 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " y ) )
3938eleq1d 2183 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " y )  e.  J ) )
4039cbvralv 2628 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  <->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )
4137, 40syl6ib 160 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J  ->  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J ) )
4215, 41impbid 128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J  <->  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) )
4342anbi2d 457 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F : X
--> Y  /\  A. y  e.  K  ( `' F " y )  e.  J )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J ) ) )
444, 43bitrd 187 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  B  ( `' F " y )  e.  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2390    C_ wss 3037   U.cuni 3702   U_ciun 3779   `'ccnv 4498   "cima 4502   -->wf 5077   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   topGenctg 11978   Topctop 12007  TopOnctopon 12020   TopBasesctb 12052    Cn ccn 12197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cn 12200
This theorem is referenced by:  txcnmpt  12284
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