Theorem tgcn 15199

Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		iscn 15188	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
6		topontop 15005	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
8	5, 7	eqeltrrd 2312	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
9		tgclb 15056	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
10	8, 9	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
11		bastg 15052	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	12, 5	sseqtrrd 3281	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
14		ssralv 3306	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
16	5	eleq2d 2304	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. K <-> x e. ( topGen ` B ) ) )
17		eltg3 15048	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. TopBases -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
18	10, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
19	16, 18	bitrd 188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. K <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
20		ssralv 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
21		topontop 15005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
23		iunopn 14993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
26	20, 25	sylan9r 410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
27		imaeq2 5102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = ( `' F " U. z ) )
28		imauni 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F " U. z ) = U_ y e. z ( `' F " y )
29	27, 28	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = U_ y e. z ( `' F " y ) )
30	29	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. z -> ( ( `' F " x ) e. J <-> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. z -> ( ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) <-> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) )
32	26, 31	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( x = U. z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
33	32	expimpd 363	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
34	33	exlimdv 1868	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
35	19, 34	sylbid 150	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. K -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
36	35	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) )
37	36	ralrimdva 2624	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
38		imaeq2 5102	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( `' F " x ) = ( `' F " y ) )
39	38	eleq1d 2303	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
40	39	cbvralv 2780	. . . . 5 |- ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
41	37, 40	imbitrdi 161	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
42	15, 41	impbid 129	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
43	42	anbi2d 464	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
44	4, 43	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   C_ wss 3214   U.cuni 3919   U_ciun 3996   `'ccnv 4753   "cima 4757   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   topGenctg 13551   Topctop 14988  TopOnctopon 15001   TopBasesctb 15033   Cn ccn 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-topgen 13557  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-cn 15179

This theorem is referenced by:  txcnmpt  15264