Theorem tgcn 13002

Description: The continuity predicate when the range is given by a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgcn.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
tgcn.3	|- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
tgcn.4	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
tgcn	|- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Distinct variable groups:   y, B   y, F   y, J   y, K   y, X   y, Y

Allowed substitution hint:   ph( y)

Proof of Theorem tgcn

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcn.1	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		tgcn.4	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		iscn 12991	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) ) )
5		tgcn.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K = ( topGen ` B ) )
6		topontop 12806	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. Top )
8	5, 7	eqeltrrd 2248	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( topGen ` B ) e. Top )
9		tgclb 12859	. . . . . . . 8 |- ( B e. TopBases <-> ( topGen ` B ) e. Top )
10	8, 9	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. TopBases )
11		bastg 12855	. . . . . . 7 |- ( B e. TopBases -> B C_ ( topGen ` B ) )
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ( topGen ` B ) )
13	12, 5	sseqtrrd 3186	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ K )
14		ssralv 3211	. . . . 5 |- ( B C_ K -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
15	13, 14	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J -> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
16	5	eleq2d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. K <-> x e. ( topGen ` B ) ) )
17		eltg3 12851	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. TopBases -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
18	10, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
19	16, 18	bitrd 187	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. K <-> E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) ) )
20		ssralv 3211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ B -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
21		topontop 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
22	1, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. Top )
23		iunopn 12794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ A. y e. z ( `' F " y ) e. J ) -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J )
24	23	ex 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
25	22, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. y e. z ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
26	20, 25	sylan9r 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
27		imaeq2 4949	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = ( `' F " U. z ) )
28		imauni 5740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F " U. z ) = U_ y e. z ( `' F " y )
29	27, 28	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = U. z -> ( `' F " x ) = U_ y e. z ( `' F " y ) )
30	29	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. z -> ( ( `' F " x ) e. J <-> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) )
31	30	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = U. z -> ( ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) <-> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> U_ y e. z ( `' F " y ) e. J ) ) )
32	26, 31	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z C_ B ) -> ( x = U. z -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
33	32	expimpd 361	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
34	33	exlimdv 1812	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z ( z C_ B /\ x = U. z ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
35	19, 34	sylbid 149	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. K -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) ) )
36	35	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. K ) -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> ( `' F " x ) e. J ) )
37	36	ralrimdva 2550	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. x e. K ( `' F " x ) e. J ) )
38		imaeq2 4949	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( `' F " x ) = ( `' F " y ) )
39	38	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( `' F " x ) e. J <-> ( `' F " y ) e. J ) )
40	39	cbvralv 2696	. . . . 5 |- ( A. x e. K ( `' F " x ) e. J <-> A. y e. K ( `' F " y ) e. J )
41	37, 40	syl6ib 160	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. B ( `' F " y ) e. J -> A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) )
42	15, 41	impbid 128	. . 3 |- ( ph -> ( A. y e. K ( `' F " y ) e. J <-> A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) )
43	42	anbi2d 461	. 2 |- ( ph -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( `' F " y ) e. J ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )
44	4, 43	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. B ( `' F " y ) e. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   C_ wss 3121   U.cuni 3796   U_ciun 3873   `'ccnv 4610   "cima 4614   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   topGenctg 12594   Topctop 12789  TopOnctopon 12802   TopBasesctb 12834   Cn ccn 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-map 6628  df-topgen 12600  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-cn 12982

This theorem is referenced by:  txcnmpt  13067