Theorem uniiunlem 3236

Description: A subset relationship useful for converting union to indexed union using dfiun2 or dfiun2g and intersection to indexed intersection using dfiin2 . (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uniiunlem	|- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A B e. C <-> { y | E. x e. A y = B } C_ C ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)   D( x, y)

Proof of Theorem uniiunlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2177	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
2	1	rexbidv 2471	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
3	2	cbvabv 2295	. . . 4 |- { y | E. x e. A y = B } = { z | E. x e. A z = B }
4	3	sseq1i 3173	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y = B } C_ C <-> { z | E. x e. A z = B } C_ C )
5		r19.23v 2579	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z = B -> z e. C ) <-> ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
6	5	albii 1463	. . . 4 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> z e. C ) <-> A. z ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
7		ralcom4 2752	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. z A. x e. A ( z = B -> z e. C ) )
8		abss 3216	. . . 4 |- ( { z | E. x e. A z = B } C_ C <-> A. z ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 211	. . 3 |- ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> { z | E. x e. A z = B } C_ C )
10	4, 9	bitr4i 186	. 2 |- ( { y | E. x e. A y = B } C_ C <-> A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) )
11		nfv 1521	. . . . 5 |- F/ z B e. C
12		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. C <-> B e. C ) )
13	11, 12	ceqsalg 2758	. . . 4 |- ( B e. D -> ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) )
14	13	ralimi 2533	. . 3 |- ( A. x e. A B e. D -> A. x e. A ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) )
15		ralbi 2602	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) -> ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. x e. A B e. C ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. x e. A B e. C ) )
17	10, 16	bitr2id 192	1 |- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A B e. C <-> { y | E. x e. A y = B } C_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by:  iunopn  12715