Theorem uniiunlem 3338

Description: A subset relationship useful for converting union to indexed union using dfiun2 or dfiun2g and intersection to indexed intersection using dfiin2 . (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
uniiunlem	|- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A B e. C <-> { y | E. x e. A y = B } C_ C ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   y, B   x, C

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   C( y)   D( x, y)

Proof of Theorem uniiunlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2245	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y = B <-> z = B ) )
2	1	rexbidv 2551	. . . . 5 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = B <-> E. x e. A z = B ) )
3	2	cbvabv 2365	. . . 4 |- { y | E. x e. A y = B } = { z | E. x e. A z = B }
4	3	sseq1i 3274	. . 3 |- ( { y | E. x e. A y = B } C_ C <-> { z | E. x e. A z = B } C_ C )
5		r19.23v 2660	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( z = B -> z e. C ) <-> ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
6	5	albii 1523	. . . 4 |- ( A. z A. x e. A ( z = B -> z e. C ) <-> A. z ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
7		ralcom4 2844	. . . 4 |- ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. z A. x e. A ( z = B -> z e. C ) )
8		abss 3317	. . . 4 |- ( { z | E. x e. A z = B } C_ C <-> A. z ( E. x e. A z = B -> z e. C ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 212	. . 3 |- ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> { z | E. x e. A z = B } C_ C )
10	4, 9	bitr4i 187	. 2 |- ( { y | E. x e. A y = B } C_ C <-> A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) )
11		nfv 1581	. . . . 5 |- F/ z B e. C
12		eleq1 2301	. . . . 5 |- ( z = B -> ( z e. C <-> B e. C ) )
13	11, 12	ceqsalg 2850	. . . 4 |- ( B e. D -> ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) )
14	13	ralimi 2613	. . 3 |- ( A. x e. A B e. D -> A. x e. A ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) )
15		ralbi 2683	. . 3 |- ( A. x e. A ( A. z ( z = B -> z e. C ) <-> B e. C ) -> ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. x e. A B e. C ) )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A A. z ( z = B -> z e. C ) <-> A. x e. A B e. C ) )
17	10, 16	bitr2id 193	1 |- ( A. x e. A B e. D -> ( A. x e. A B e. C <-> { y | E. x e. A y = B } C_ C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  iunopn  15026