Theorem iunxdif2 3914

Description: Indexed union with a class difference as its index. (Contributed by NM, 10-Dec-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunxdif2.1	|- ( x = y -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
iunxdif2	|- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) C C_ D -> U_ y e. ( A \ B ) D = U_ x e. A C )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D

Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)

Proof of Theorem iunxdif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunss2 3911	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) C C_ D -> U_ x e. A C C_ U_ y e. ( A \ B ) D )
2		difss 3248	. . . . 5 |- ( A \ B ) C_ A
3		iunss1 3877	. . . . 5 |- ( ( A \ B ) C_ A -> U_ y e. ( A \ B ) D C_ U_ y e. A D )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ y e. ( A \ B ) D C_ U_ y e. A D
5		iunxdif2.1	. . . . 5 |- ( x = y -> C = D )
6	5	cbviunv 3905	. . . 4 |- U_ x e. A C = U_ y e. A D
7	4, 6	sseqtrri 3177	. . 3 |- U_ y e. ( A \ B ) D C_ U_ x e. A C
8	1, 7	jctil 310	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) C C_ D -> ( U_ y e. ( A \ B ) D C_ U_ x e. A C /\ U_ x e. A C C_ U_ y e. ( A \ B ) D ) )
9		eqss 3157	. 2 |- ( U_ y e. ( A \ B ) D = U_ x e. A C <-> ( U_ y e. ( A \ B ) D C_ U_ x e. A C /\ U_ x e. A C C_ U_ y e. ( A \ B ) D ) )
10	8, 9	sylibr 133	1 |- ( A. x e. A E. y e. ( A \ B ) C C_ D -> U_ y e. ( A \ B ) D = U_ x e. A C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   A.wral 2444   E.wrex 2445   \ cdif 3113   C_ wss 3116   U_ciun 3866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-in 3122  df-ss 3129  df-iun 3868

This theorem is referenced by: (None)