Theorem ssiinf 3785

Description: Subset theorem for an indexed intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssiinf.1	|- F/_ x C

Assertion

Ref	Expression
ssiinf	|- ( C C_ |^|_ x e. A B <-> A. x e. A C C_ B )

Proof of Theorem ssiinf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2623	. . . . 5 |- y e. _V
2		eliin 3741	. . . . 5 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A y e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- ( y e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A y e. B )
4	3	ralbii 2385	. . 3 |- ( A. y e. C y e. |^|_ x e. A B <-> A. y e. C A. x e. A y e. B )
5		ssiinf.1	. . . 4 |- F/_ x C
6		nfcv 2229	. . . 4 |- F/_ y A
7	5, 6	ralcomf 2529	. . 3 |- ( A. y e. C A. x e. A y e. B <-> A. x e. A A. y e. C y e. B )
8	4, 7	bitri 183	. 2 |- ( A. y e. C y e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A A. y e. C y e. B )
9		dfss3 3016	. 2 |- ( C C_ |^|_ x e. A B <-> A. y e. C y e. |^|_ x e. A B )
10		dfss3 3016	. . 3 |- ( C C_ B <-> A. y e. C y e. B )
11	10	ralbii 2385	. 2 |- ( A. x e. A C C_ B <-> A. x e. A A. y e. C y e. B )
12	8, 9, 11	3bitr4i 211	1 |- ( C C_ |^|_ x e. A B <-> A. x e. A C C_ B )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1439   F/_wnfc 2216   A.wral 2360   _Vcvv 2620   C_ wss 3000   |^|_ciin 3737

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-v 2622  df-in 3006  df-ss 3013  df-iin 3739

This theorem is referenced by:  ssiin  3786  dmiin  4694