Theorem ssiinf 3857

Description: Subset theorem for an indexed intersection. (Contributed by FL, 15-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Oct-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssiinf.1	|- F/_ x C

Assertion

Ref	Expression
ssiinf	|- ( C C_ |^|_ x e. A B <-> A. x e. A C C_ B )

Proof of Theorem ssiinf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2684	. . . . 5 |- y e. _V
2		eliin 3813	. . . . 5 |- ( y e. _V -> ( y e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A y e. B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( y e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A y e. B )
4	3	ralbii 2439	. . 3 |- ( A. y e. C y e. |^|_ x e. A B <-> A. y e. C A. x e. A y e. B )
5		ssiinf.1	. . . 4 |- F/_ x C
6		nfcv 2279	. . . 4 |- F/_ y A
7	5, 6	ralcomf 2590	. . 3 |- ( A. y e. C A. x e. A y e. B <-> A. x e. A A. y e. C y e. B )
8	4, 7	bitri 183	. 2 |- ( A. y e. C y e. |^|_ x e. A B <-> A. x e. A A. y e. C y e. B )
9		dfss3 3082	. 2 |- ( C C_ |^|_ x e. A B <-> A. y e. C y e. |^|_ x e. A B )
10		dfss3 3082	. . 3 |- ( C C_ B <-> A. y e. C y e. B )
11	10	ralbii 2439	. 2 |- ( A. x e. A C C_ B <-> A. x e. A A. y e. C y e. B )
12	8, 9, 11	3bitr4i 211	1 |- ( C C_ |^|_ x e. A B <-> A. x e. A C C_ B )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   F/_wnfc 2266   A.wral 2414   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   |^|_ciin 3809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-iin 3811

This theorem is referenced by:  ssiin  3858  dmiin  4780