Theorem iunrab 3896

Description: The indexed union of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunrab	|- U_ x e. A { y e. B | ph } = { y e. B | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem iunrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunab 3895	. 2 |- U_ x e. A { y | ( y e. B /\ ph ) } = { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) }
2		df-rab 2444	. . . 4 |- { y e. B | ph } = { y | ( y e. B /\ ph ) }
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } = { y | ( y e. B /\ ph ) } )
4	3	iuneq2i 3867	. 2 |- U_ x e. A { y e. B | ph } = U_ x e. A { y | ( y e. B /\ ph ) }
5		df-rab 2444	. . 3 |- { y e. B | E. x e. A ph } = { y | ( y e. B /\ E. x e. A ph ) }
6		r19.42v 2614	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
7	6	abbii 2273	. . 3 |- { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) } = { y | ( y e. B /\ E. x e. A ph ) }
8	5, 7	eqtr4i 2181	. 2 |- { y e. B | E. x e. A ph } = { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) }
9	1, 4, 8	3eqtr4i 2188	1 |- U_ x e. A { y e. B | ph } = { y e. B | E. x e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   {cab 2143   E.wrex 2436   {crab 2439   U_ciun 3849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-iun 3851

This theorem is referenced by:  hashrabrex  11360  phisum  12092