Theorem iunrab 3964

Description: The indexed union of a restricted class abstraction. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iunrab	|- U_ x e. A { y e. B | ph } = { y e. B | E. x e. A ph }

Distinct variable groups:   y, A   x, y   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem iunrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunab 3963	. 2 |- U_ x e. A { y | ( y e. B /\ ph ) } = { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) }
2		df-rab 2484	. . . 4 |- { y e. B | ph } = { y | ( y e. B /\ ph ) }
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( x e. A -> { y e. B | ph } = { y | ( y e. B /\ ph ) } )
4	3	iuneq2i 3934	. 2 |- U_ x e. A { y e. B | ph } = U_ x e. A { y | ( y e. B /\ ph ) }
5		df-rab 2484	. . 3 |- { y e. B | E. x e. A ph } = { y | ( y e. B /\ E. x e. A ph ) }
6		r19.42v 2654	. . . 4 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
7	6	abbii 2312	. . 3 |- { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) } = { y | ( y e. B /\ E. x e. A ph ) }
8	5, 7	eqtr4i 2220	. 2 |- { y e. B | E. x e. A ph } = { y | E. x e. A ( y e. B /\ ph ) }
9	1, 4, 8	3eqtr4i 2227	1 |- U_ x e. A { y e. B | ph } = { y e. B | E. x e. A ph }

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   {crab 2479   U_ciun 3916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-iun 3918

This theorem is referenced by:  hashrabrex  11646  phisum  12409  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319